Komposition (Mathematik)

Grundidee und Definition

Die Komposition von Funktionen ist die Hintereinanderausführung mehrerer Funktionen. Sie wird auch Verkettung, Verknüpfung oder Hintereinanderschaltung genannt und meist mit dem Zeichen ∘ geschrieben. Sie ist beispielsweise in der Differential- und Integralrechnung wichtig, unter anderem für die Kettenregel und die Substitutionsregel.

Seien A, B und C Mengen sowie f: A → B und g: B → C Funktionen. Dann heißt die Funktion

g ∘ f: A → C, x ↦ (g ∘ f)(x) := g(f(x))

die Komposition von f und g. Dabei wird zuerst f und danach g angewandt. Die zuerst auszuführende Funktion steht also rechts:

A —f→ B —g→ C.

Der Ausdruck g ∘ f wird unter anderem als „g nach f“ oder „g verknüpft mit f“ gelesen. Als alternative Schreibweise kommt gf vor; sie darf nicht mit dem Produkt g · f verwechselt werden. Einzelne Autoren verwenden eine umgekehrte Konvention oder schreiben das Funktionssymbol rechts vom Argument, etwa xf beziehungsweise x^f. Deshalb muss bei abweichender Notation die verwendete Reihenfolge beachtet werden.

Beispiele und grundlegende Rechenregeln

Für f(x) = x + 1 und g(x) = x² gilt

(g ∘ f)(x) = (x + 1)².

Umgekehrt kann h(x) = 1/(x² + 1) als h = g ∘ f dargestellt werden, wenn f(x) = x² + 1 und g(x) = 1/x für x ≠ 0 gewählt werden.

Die Komposition ist assoziativ. Für f: A → B, g: B → C und h: C → D gilt

(h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f) =: h ∘ g ∘ f.

Beide Seiten liefern h(g(f(x))). Deshalb dürfen bei mehreren Kompositionen die Klammern weggelassen werden. Die Auswertung beginnt trotzdem stets mit der innersten beziehungsweise am weitesten rechts stehenden Funktion.

Die identische Abbildung id_A bildet jedes Element von A auf sich selbst ab und ist das neutrale Element der Komposition. Für f: A → B gilt

f ∘ id_A = f = id_B ∘ f.

Die Komposition ist im Allgemeinen nicht kommutativ, das heißt, die Reihenfolge darf nicht beliebig vertauscht werden. Für f(x) = x² und g(x) = x + 1 erhält man

(f ∘ g)(x) = (x + 1)² = x² + 2x + 1,

aber

(g ∘ f)(x) = x² + 1.

Nur besondere Funktionskombinationen kommutieren. Beispiele sind f(x) = ax und g(x) = bx mit dem gemeinsamen Ergebnis abx, Potenzfunktionen x^m und x^n mit dem Ergebnis x^(mn) sowie Verschiebungen x + u und x + v mit dem Ergebnis x + (u + v). Auch Iterationen derselben Funktion sowie eine Funktion und ihre vorhandene Umkehrfunktion kommutieren.

Injektivität, Surjektivität und Strukturverträglichkeit

Eine Funktion ist injektiv, wenn kein Element der Zielmenge mehrfach als Funktionswert angenommen wird. Sie ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge angenommen wird, und bijektiv, wenn sie zugleich injektiv und surjektiv ist.

Diese Eigenschaften bleiben bei der Komposition erhalten:

• Die Komposition injektiver Funktionen ist injektiv.

• Die Komposition surjektiver Funktionen ist surjektiv.

• Die Komposition bijektiver Funktionen ist bijektiv.

Aus Eigenschaften von g ∘ f folgen außerdem Aussagen über die einzelnen Funktionen: Ist g ∘ f injektiv, dann ist f injektiv. Ist g ∘ f surjektiv, dann ist g surjektiv. Ist g ∘ f bijektiv, dann ist f injektiv und g surjektiv.

Auch die Verträglichkeit mit zusätzlichen mathematischen Strukturen bleibt in wichtigen Fällen erhalten: Die Komposition linearer Abbildungen zwischen Vektorräumen ist linear, die Komposition stetiger Abbildungen zwischen topologischen Räumen ist stetig, und die Komposition von Gruppenhomomorphismen ist wieder ein Gruppenhomomorphismus. Die Kategorientheorie verallgemeinert diese Idee, indem sie von konkreten Abbildungen abstrahiert und für die Komposition insbesondere Assoziativität und Identitäten fordert.

Iteration und algebraische Strukturen

Ist f: A → A eine Abbildung einer Menge in sich selbst, kann sie wiederholt mit sich selbst komponiert werden. Man definiert

f¹ := f,

f^(n+1) := f ∘ f^n

und

f⁰ := id_A.

Die Funktion f^n = f^⟨n⟩ heißt n-te Iterierte, häufig auch n-te Potenz von f. Diese Schreibweise darf nicht mit der gewöhnlichen Exponentiation verwechselt werden: Wenn auf A eine Multiplikation definiert ist, kann f²(x) je nach Zusammenhang auch f(x) · f(x) bedeuten.

Ist f bijektiv, besitzt sie eine Umkehrfunktion f⁻¹. Dann werden negative Iterationen durch

f^(−n) := (f⁻¹)^n

definiert. Für die positiven reellen Zahlen und f(x) = x² gilt beispielsweise f³(x) = x⁸ und f⁻²(x) = ⁴√x.

Die Menge 𝓕(A) aller Funktionen A → A bildet mit der Komposition und der identischen Abbildung als neutralem Element ein Monoid, also eine Menge mit einer assoziativen inneren Verknüpfung und einem neutralen Element. Beschränkt man sich auf bijektive Funktionen, entsteht eine Gruppe; die jeweilige Umkehrfunktion ist das inverse Element. Hat die endliche Menge A genau n Elemente, erhält man die symmetrische Gruppe S_n.

Komposition von Relationen

Der Graph einer Funktion f: X → Y ist die Relation R_f = {(x, f(x)) | x ∈ X}. Für Funktionskompositionen gilt

x R_(g∘f) z ⇔ ∃y: x R_f y und y R_g z.

Dies führt zur allgemeinen Komposition zweistelliger Relationen. Für R ⊆ X × Y und S ⊆ Y × Z ist S ∘ R ⊆ X × Z definiert durch

x (S ∘ R) z ⇔ ∃y: x R y und y S z.

Auch hier wird von rechts nach links komponiert. Sind X die Punkte, Y die Geraden und Z die Ebenen im dreidimensionalen Raum, kann R bedeuten, dass ein Punkt x auf einer Geraden y liegt, und S, dass die Gerade y in einer Ebene z enthalten ist. Für T := S ∘ R bedeutet x T z dann: Der Punkt x liegt in der Ebene z.

Die Komposition von Relationen ist assoziativ. Die identische Relation id_M = {(m,m) | m ∈ M} ist neutral; für R ⊆ X × Y gilt

id_Y ∘ R = R = R ∘ id_X.

Für eine Relation R ⊆ X² sind daher auch die Potenzen R^n für n ≥ 0 definiert. Sie werden beispielsweise zur Definition der reflexiv-transitiven Hülle verwendet. Eine Relation heißt transitiv, wenn R ∘ R ⊆ R gilt.

Besondere Notation in der Physik

In der Physik und anderen Naturwissenschaften wird eine Komposition häufig symbolisch mit ihrer äußeren Funktion gleichgesetzt. Dadurch entstehen Ausdrücke wie

V(x⃗) = V(|x⃗|),

obwohl V links eine Funktion auf einem Teil von ℝ³ und rechts scheinbar eine Funktion einer reellen Zahl bezeichnet. Gemeint ist, dass die physikalische Größe V nur vom Abstand |x⃗| des Ortes x⃗ = (x₁,x₂,x₃) vom Nullpunkt abhängt, wobei

|x⃗| = √(x₁² + x₂² + x₃²).

Mathematisch genauer lautet die Aussage:

∃ V̄: I ⊆ ℝ → ℝ: V(x⃗) = V̄(|x⃗|).

Mit der euklidischen Norm d: ℝ³ → ℝ, d(x⃗) = |x⃗|, ist also V = V̄ ∘ d. Die verkürzte Schreibweise ist intuitiv und benötigt weniger verschiedene Symbole, unterscheidet aber nicht sauber zwischen der äußeren Funktion und ihrer Komposition.

Ein typisches Beispiel ist ein Zentralpotential V: ℝ³ \ {0} → ℝ der Form

V(x⃗) = α/|x⃗|,

wie es unter anderem in der Elektrostatik verwendet wird. Dabei ist V die Komposition der skalaren Funktion V̄: ℝ \ {0} → ℝ mit V̄(x) = α/x und der euklidischen Norm: V(x⃗) = V̄(|x⃗|).