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Algebraisch Minimieren | Boolesche Algebra | logischen Operatoren UND- ODER | Verknüpfungen lösen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 38 Zeilen
- Herzlich willkommen zu einem weiteren lernflixvideo. Auch in diesem Video möchte ich mich gerne mit der Boolischen Algebra befassen. Wir haben eben dieses Beispiel schon mit
- Hilfe einer Wertetabelle gelöst bzw. wir haben bewiesen, dass die linke Seite äquivalent zur rechten Seite ist. Ich habe aber auch gesagt wir können das Ganze eben rechnerisch machen
- und zwar haben wir hier nichts anderes wie Rechenoperatoren, wenn wir es so betrachten wollen. Und zwar eine "ODER" Verknüpfung.
- Eine ODER Verknüpfung in der Boolischen Algebra entspricht eigentlich einer Addition in der herkömmlichen Algebra. Also im Endeffekt mache ich hier nichts anderes
- wie A nicht plus B nicht, das ist natürlich etwas verwirrend, weil ich habe eine ODER Verknüpfung, das ist eigentlich eine Addition, noch komplizierter wird es bei einer UND Verknüpfung in der Boolschen Algebra
- das entspricht, wenn wir die herkömmliche Algebra betrachten einer Multiplikation, also eine UND Verknüpfung in der Boolschen ist eine Multiplikation in der herkömmlichen Algebra
- Hilft jetzt aber für die Berechnung, natürlich könnten wir jetzt hier auch das einfach mit UND und ODER lösen, wäre aber wesentlich komplizierter. Mein Ansatz ist eben, dass wir diese ODER und UND
- Verbindungen eben durch Plus und Mal ersetzen, du wirst dann gleich sehen was passiert ich habe hier eben ein A nicht oder B nicht
- Verbindung mit einer UND Verbindung das ist nichts anderes wie eine Multiplikation. Das heißt, ich multipliziere diese Klammer mit A nicht plus B und diese Klammer
- multipliziere ich dann eigentlich wieder mit der dritten Klammer und das ist A + B nicht Und jetzt erinnern wir uns an die herkömmliche Algebra, ich kann
- ja diese Klammer Ausdrücke miteinander multiplizieren dadurch sollte es dann ja im Wesentlichen lösbar sein. Wie haben wir multipliziert
- eben jeden Ausdruck mit jedem Ausdruck. Das heißt, wir fangen vorne A nicht mal A nicht plus A nicht mal B + B nicht mal A nicht und B nicht
- Das wären jetzt die ersten zwei Klammern miteinander multipliziert, die dritte Klammer schreibe ich dann eben an. Als nächstes können wir hier in der Klammer natürlich
- etwas vereinfachen, dazu bedarf es natürlich Grundkenntnisse gewisser Gesetze aus der Boolschen Algebra zu kennen. Und zwar dieses A nicht mal A nicht entspricht ja, wenn wir es wieder
- normal aufschreiben eine Verbindung von A nicht und A nicht, und diese Verbindung kann ja dann eben nur A nicht ergeben. Also dieses A nicht und A nicht ist eben A nicht, das heißt aber auch die
- Multiplikation A nicht mal A nicht muss dann natürlich A nicht ergeben. Somit wäre diese Verknüpfung schon etwas vereinfacht bei A nicht mal B können wir einstweilen nichts machen
- das gleiche gilt hier für B nicht mal A nicht, aber bei B nicht mal B gibt es eben dieses Gesetz und B mal B nicht ergibt 0. Warum ist das so? Auch hier wieder könnten wir die Wertetabelle
- hernehmen als Hilfe. Das B würde ja sein 0101 und verknüpfen wir das mit B nicht also genau das Gegenteil. Es ist eine UND Verknüpfung und bei einer UND Verknüpfung müssen ja
- Wahre Aussagen entstehen und das habe ich ja hier nirgends. Ich habe in jeder Zeile eine Null, das heißt, es würde wirklich bei dieser UND Verknüpfung 0000 herauskommen also ist
- B und B nicht eben Null. Somit kann ich diesen Ausdruck komplett streichen und du siehst schon die Klammer hat sich etwas vereinfacht die dritte Klammer mit der wir das Ganze jetzt
- multiplizieren müssen noch angeschrieben. Jetzt multiplizieren wir eben diesen Klammerausdruck mit diesem Klammerausdruck auch hier wieder der Reihe nach A nicht mal A
- plus A nicht mal B mal A plus B nicht mal A nicht mal A, also es ist eigentlich eine Abschreibübung wir schreiben das hier ab und multiplizieren jeden Ausdruck mit A
- dann das gleiche mit B nicht also A nicht mal B nicht, plus A nicht mal B mal B nicht und als letztes noch plus B nicht mal A nicht und das ganze mal B nicht.
- Jetzt habe ich die ganzen Klammern miteinander ausmultipliziert. Auch jetzt wieder werden wir etwas vereinfachen können. Wir haben hier in A nicht mal A, wir haben hier oben schon
- bewiesen dass ein B nicht mal B eben Null ist somit muss auch ein A nicht mal ein A 0 sein Das könnten wir wieder mit einer Wertetabelle beweisen, gleiches gilt natürlich hier
- A nicht mal A ist wieder 0, dann interessiert uns das eigentlich gar nicht mehr, ob ich das mit B noch multiplizieren muss weil Null mal B ist natürlich Null
- Gleiches passiert uns hier, wir haben wieder ein A nicht mal A das ganze sollten wir dann aber noch mit B nicht multiplizieren ist aber egal, weil A nicht mal A eben genau Null ergibt.
- Hier bei A nicht mal B nicht können wir nichts ändern. Hier A nicht mal B mal B nicht, B mal B nicht ist aber wiederum 0, das heißt, das können wir wieder streichen.
- Und dann haben wir noch diesen Ausdruck B nicht mal A nicht mal B nicht, hier können wir das B nicht mal B nicht zusammenfügen, also nichts anderes eben wie dieses B nicht und B nicht und
- da wissen wir da ist ergibt ein B nicht, also bleibt hier hinten übrig B nicht mal A nicht und hier eben der Ausdruck A nicht mal B nicht. Bei dieser Verbindung hier A nicht mal B B nicht
- plus B nicht mal A nicht, können wir natürlich sagen, die sind beide gleich weil ja ich dieses A nicht auch hier vorne hinsetzen kann, ist es natürlich A nicht mal B nicht somit
- ist es aber nicht zweimal A nicht mal B nicht, sondern es ist nur einmal A nicht mal B nicht. Das Ganze können wir auch erklären, wieder mit einer Wertetabelle, ich verbinde eben den Ausdruck A
- mit dem gleichen Ausdruck A, das ganze verbinde ich mit einem ODER, weil dieses und eben ein ODER ist, somit kommt ja A heraus, weil wenn ich dieses A mit oder verbinde muss nur eins
- stimmen und dann kommt 0011 heraus und das ist natürlich diese Ausdruck A. Also wenn ich den Ausdruck A noch mal her schreibe, ich verbinde diese zwei mit einem ODER na was bleibt übrig?
- Es kann ja nur das A übrig bleiben, somit wenn ich zwei Ausdrücke, zwei identische Ausdrücke wie wir es hier haben mit einem UND bzw. mit einem ODER verbinde, dann bleibt eben nur einmal
- dieser Ausdruck übrig und einmal dieser Ausdruck ist eben A nicht mal B nicht. Und dieses Mal können wir jetzt zum Schluss wieder durch dieses UND ersetzen
- und das ist natürlich dann genau das, was hier oben gefordert war. Wir sollten ja beweisen, dass dieser Ausdruck eben äquivalent zu diesen Ausdruck ist und das ist ja wirklich eindeutig.
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