Impuls

Grundbedeutung und klassische Definition

Der Impuls ist eine grundlegende physikalische Größe, die den geradlinigen Bewegungszustand eines Objekts beschreibt. Umgangssprachlich entspricht er ungefähr dem, was als „Schwung“ oder „Wucht“ bezeichnet wird. Sein Formelzeichen ist meist p beziehungsweise als Vektor 𝐩. Die SI-Einheit lautet kg·m·s⁻¹ = N·s; die Dimension ist M·L·T⁻¹.

Der Impuls ist eine vektorielle Größe: Er besitzt einen Betrag und eine Richtung. Die Richtung entspricht der Bewegungsrichtung des Objekts. In der klassischen Mechanik gilt für ein Punktteilchen:

𝐩 = m𝐯.

Dabei ist m die Masse und 𝐯 die Geschwindigkeit. Der Betrag des Impulses wird also größer, wenn Masse oder Geschwindigkeit größer werden. Bei einem ausgedehnten Körper beschreibt der Impuls ausschließlich die Translationsbewegung des Massenmittelpunkts. Eine Rotation um diesen Mittelpunkt wird durch den Eigendrehimpuls beschrieben.

Der Impuls ist additiv. Für ein System aus mehreren Körpern oder Punktteilchen ist der Gesamtimpuls die Vektorsumme:

𝐩₍ges₎ = Σ 𝐩ᵢ.

Dieser Gesamtimpuls entspricht dem Impuls eines einzelnen Massenpunkts, der die Gesamtmasse des Systems im Massenmittelpunkt vereint. Die Summe der Impulse der einzelnen Bestandteile relativ zum Schwerpunkt ist null.

Da die Masse in der klassischen Mechanik erhalten bleibt, kann die Geschwindigkeit eines Körpers nur geändert werden, wenn sich sein Impuls ändert. Dazu ist eine Kraft 𝐅 erforderlich:

d𝐩/dt = m · d𝐯/dt = 𝐅.

Die Kraft ist somit die zeitliche Ableitung des Impulses. Umgekehrt ergibt sich der Impuls zu einem späteren Zeitpunkt aus

𝐩(t) = 𝐩(t₀) + ∫ₜ₀ᵗ 𝐅 dτ.

Die verrichtete Beschleunigungsarbeit ist die kinetische Energie. Für die klassische Mechanik gilt:

Eₖᵢₙ = 𝐩²/(2m) = ½m · 𝐯².

Im Unterschied zur kinetischen Energie ist der Impuls eine gerichtete Größe.

Relativistischer Impuls und elektromagnetische Felder

Der Impuls hängt wie die Geschwindigkeit und die kinetische Energie vom gewählten Bezugssystem ab. In der speziellen Relativitätstheorie gilt für einen Körper mit Masse m > 0 und Geschwindigkeit 𝐯:

𝐩 = m𝐯 / √(1 − v²/c²) = γm𝐯,

mit dem Lorentz-Faktor

γ = 1/√(1 − v²/c²).

c bezeichnet die Lichtgeschwindigkeit. Der relativistische Impuls steigt bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit nichtlinear gegen Unendlich. Für Geschwindigkeiten, die weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit liegen, nähert sich diese Formel der klassischen Beziehung 𝐩 = m𝐯 an.

Allgemein gilt die Energie-Impuls-Beziehung:

E² − p²c² = m²c⁴.

Für einen Körper mit Masse folgt daraus

E = mc² / √(1 − v²/c²).

Bei v = 0 ist p = 0 und E = mc²; diese Energie heißt Ruheenergie. Auch masselose Objekte wie Photonen besitzen Impuls. Sie bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit. Für sie gilt E = pc und daher p = E/c.

Auch elektromagnetische Felder können Energie und Impuls tragen. Für ein Feld mit elektrischer Feldstärke 𝐄 und magnetischer Feldstärke 𝐇 lautet die Energiedichte

u = ½ε₀E² + ½μ₀H².

Die Energiestromdichte wird durch den Poynting-Vektor beschrieben:

𝐒 = 𝐄 × 𝐇.

Die Impulsdichte des Feldes ist

𝐠 = (1/c²)𝐄 × 𝐇.

Durch Integration über ein bestimmtes Volumen erhält man die mit dem Feld verbundene Energie, den Energiestrom und den Impuls. Für fortschreitende ebene Wellen gilt erneut E = pc.

Impulserhaltung und Kraftstoß

In einem fest gewählten Inertialsystem ist der Impuls eine Erhaltungsgröße. Für ein abgeschlossenes System, auf das keine äußeren Kräfte wirken, bleibt die Summe der Impulse aller Bestandteile konstant. Der anfängliche Gesamtimpuls ist daher gleich der Vektorsumme der Einzelimpulse zu jedem späteren Zeitpunkt.

Bei einem Stoß oder einem anderen inneren Vorgang können sich die Geschwindigkeiten der Bestandteile ändern, ohne dass sich der Gesamtimpuls ändert. Üben zwei Körper wechselseitige Kräfte aufeinander aus, ändern sich ihre Impulse in entgegengesetzter Weise. Die Änderung des Impulses eines Körpers heißt Impulsübertrag. Im Rahmen der klassischen Mechanik ist dieser Impulsübertrag unabhängig von der Wahl des Inertialsystems.

Die Impulserhaltung gilt sowohl beim elastischen als auch beim unelastischen Stoß. Beim unelastischen Stoß kann die kinetische Energie etwa durch plastische Verformung abnehmen. Der Impulserhaltungssatz ist jedoch vom Energieerhaltungssatz unabhängig und bleibt trotzdem gültig.

Wirkt eine Kraft während einer bestimmten Zeit auf einen Körper, heißt dieser Vorgang Kraftstoß. Der Kraftstoß bewirkt eine Impulsänderung. Für eine konstante Kraft 𝐅 im Zeitintervall Δt := t₂ − t₁ mit t₁ < t₂ gilt im Artikel:

Δ𝐩 := 𝐩(t₁) − 𝐩(t₂) = 𝐅Δt.

Ist die Kraft zeitabhängig, wird die Impulsänderung durch das Zeitintegral bestimmt:

Δ𝐩 = ∫ₜ₁ᵗ₂ 𝐅(t) dt.

Mit der mittleren Kraft

𝐅̅ := (1/Δt)∫ₜ₁ᵗ₂ 𝐅(t) dt

lässt sich der Zusammenhang auch als Δ𝐩 = 𝐅̅Δt schreiben. In einer Darstellung des Kraftstoßes entspricht die Impulsänderung der Fläche unter dem Kraft-Zeit-Verlauf.

Kanonischer Impuls und Impuls in strömenden Medien

Im Lagrange- und Hamilton-Formalismus wird der generalisierte Impuls verwendet. Die drei Komponenten des gewöhnlichen Impulsvektors gehören dazu, aber beispielsweise auch der Drehimpuls. Im Hamilton-Formalismus und in der Quantenmechanik ist der Impuls die zum Ort kanonisch konjugierte Variable; deshalb spricht man auch vom kanonischen Impuls.

Paare aus generalisierten Ortskoordinaten q und kanonischen Impulsen p bilden in der Hamilton-Mechanik den Phasenraum. In einem Magnetfeld enthält der kanonische Impuls eines geladenen Teilchens zusätzlich einen Term, der mit dem Vektorpotential des Magnetfeldes zusammenhängt.

Bei kontinuierlich verteilter Masse, etwa in der Strömungsmechanik, beschreibt die Massendichte ρ(t,𝐱) die Masse pro Volumen. Ein kleines Volumen d³x um den Ort 𝐱 enthält die Masse ρ(t,𝐱)d³x. Bewegt sich diese Masse mit der Geschwindigkeit 𝐯(t,𝐱), besitzt sie den Impuls ρ(t,𝐱)𝐯(t,𝐱)d³x. Die Impulsdichte ist daher

ρ𝐯.

Wegen der Impulserhaltung gilt an einem festen Ort die Kontinuitätsgleichung

∂(ρ𝐯)/∂t = 𝐟 − Σᵢ₌₁³ ∂(ρ𝐯vᵢ)/∂xᵢ.

Sie beschreibt, dass sich die zeitliche Änderung der Impulsdichte aus der auf das Volumenelement wirkenden Kraftdichte 𝐟 und dem Impulsstrom in das Gebiet hinein und aus ihm heraus zusammensetzt. Beispiele für Kraftdichten sind der Druckgradient oder die Gewichtskraft, für die 𝐟₍Gravitation₎ = ρ𝐠 gilt.

Die Eulerschen Gleichungen sind ein System partieller Differentialgleichungen, das zusammen mit Impuls- und Energieerhaltung die Zeitentwicklung eines kontinuierlichen Systems beschreibt. Die Navier-Stokes-Gleichungen erweitern sie um die Beschreibung der Viskosität. Für den Impuls gibt es eine Erhaltungsgleichung, für die Geschwindigkeit jedoch nicht. In der klassischen Mechanik kann die Geschwindigkeit wegen 𝐩 = m𝐯 einfach aus dem Impuls bestimmt werden. In relativistischen Eulergleichungen hängt der Lorentz-Faktor von 𝐯² ab; deshalb erfordert die Rekonstruktion der Geschwindigkeit aus relativistischer Masse, Impuls und Energiedichte in der Regel die Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems.

Impuls in der Quantenmechanik und historische Einordnung

In der Quantenmechanik bilden Ort und Impuls ein komplementäres Begriffspaar. Die heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass ein Teilchen nicht gleichzeitig einen genau bestimmten Ort und einen genau bestimmten Impuls besitzen kann. Der Welle-Teilchen-Dualismus verlangt, bei quantenmechanischen Objekten sowohl ihre Wellen- als auch ihre Teilchennatur zu berücksichtigen.

Ein wohldefinierter Ort passt eher zum Teilchenbild, während ein wohldefinierter Impuls, der mit dem Wellenvektor verbunden ist, eher eine Eigenschaft der Welle darstellt. Die Quantenmechanik kann im Ortsraum oder im Impulsraum formuliert werden. Je nach Darstellung ist der Impulsoperator ein gewöhnlicher Messoperator oder ein Differentialoperator. Eine Impulsmessung führt zur Delokalisierung des Objekts; bei einer exakten Messung ist diese Delokalisierung vollständig.

Zustände mit wohldefiniertem Impuls heißen Eigenzustände des Impulsoperators. Ihre Wellenfunktionen sind ebene Wellen. Für ihre Wellenlänge gilt

λ = h/p,

wobei h die Planck-Konstante ist. Die De-Broglie-Wellenlänge freier Materiewellen wird somit durch den Impuls bestimmt.

Der Impulsbegriff wurde von Isaac Newton eingeführt. Seine Aussage, dass die „Größe der Bewegung“ durch Geschwindigkeit und „Größe der Materie“ vereint gemessen werde, entspricht in moderner Form p = vm, bis auf die Vektorrechnung der klassischen Definition. Die früher verwendeten Bezeichnungen „Bewegungsgröße“ und „Bewegungsmenge“ konnten ursprünglich auch die kinetische Energie meinen; erst Anfang des 19. Jahrhunderts wurden die Begriffe klar unterschieden.