Skalar (Mathematik)

Grundidee und lineare Algebra

Ein Skalar ist eine mathematische Größe, die allein durch einen Zahlenwert charakterisiert ist. In der Physik kann dazu auch eine Einheit gehören.

In der linearen Algebra ist ein Skalar ein Element des Grundkörpers eines Vektorraums, meistens also eine reelle Zahl. Die Elemente des Vektorraums heißen dagegen Vektoren. Deshalb wird der Grundkörper auch Skalarkörper genannt.

Die Multiplikation eines Vektors v mit einem Skalar λ heißt Skalarmultiplikation oder Skalierung. Das Ergebnis λ · v ist ein skalares Vielfaches von v. Davon zu unterscheiden ist das Skalarprodukt: Es verknüpft zwei Vektoren und ordnet ihnen als Ergebnis einen Skalar zu.

Skalare in der Physik

In der Physik beschreiben Skalare physikalische Größen, die keine Richtung benötigen. Beispiele sind die Masse eines Körpers, seine Temperatur, seine Energie und seine Entfernung von einem anderen Körper, wenn diese Entfernung als Betrag der Differenz der Ortsvektoren verstanden wird.

Eine skalare physikalische Größe ändert sich bei Änderungen der Lage oder Orientierung nicht. Wenn zur vollständigen Beschreibung einer Größe eine Richtung nötig ist, verwendet man einen Vektor, zum Beispiel bei Kraft oder Geschwindigkeit. Wenn eine Größe von mehreren Richtungen abhängt, verwendet man einen Tensor, genauer einen Tensor 2. oder höherer Stufe.

Beispiel Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit eines Teilchens hat eine Richtung: Sie zeigt in die Richtung, in die sich das Teilchen bewegt. Bei einer Drehbewegung ändert sich diese Richtung ständig. Deshalb ist die Geschwindigkeit in diesem Fall kein Skalar, sondern ein Vektor.

Der Betrag der Geschwindigkeit kann bei einer konstanten Drehbewegung jedoch gleich bleiben. Dieser Betrag ist richtungsunabhängig und daher ein Skalar.

Abhängigkeit vom Bezug

Ob eine Größe als Skalar gilt, hängt von der betrachteten Transformationsgruppe ab. Eine Transformationsgruppe beschreibt, welche Änderungen des Bezugssystems betrachtet werden, zum Beispiel Drehungen.

Die Energie ist ein Skalar bezüglich Drehungen. In der Relativitätstheorie ist sie jedoch eine Komponente eines Vierervektors. Eine besondere Untergruppe der Skalare sind Pseudoskalare: Sie kehren bei einer Ebenenspiegelung ihr Vorzeichen um.

Verwandte Begriffe

Quadratische Matrizen können als skalar bezeichnet werden, wenn sie als lineare Abbildung eines Vektorraums auf sich selbst jeden Vektor mit einem festen Skalar λ multiplizieren. Solche Matrizen sind Diagonalmatrizen, bei denen alle Einträge auf der Diagonale gleich λ sind.

Auch bei einem Modul über einem Ring heißt die Multiplikation eines Modulelements mit einem Element des Grundrings Skalarmultiplikation. Die Bezeichnung Skalar für die Elemente des Grundrings ist in diesem Zusammenhang jedoch nur teilweise gebräuchlich.