Urnenmodell

Grundidee und vier Grundformen

Ein Urnenmodell ist ein Gedankenexperiment aus Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Kombinatorik. Eine Urne enthält N Kugeln, die sich etwa durch Farbe oder Beschriftung unterscheiden. Bei jeder Ziehung wird zufällig eine Kugel ausgewählt; alle gerade in der Urne befindlichen Kugeln haben dabei dieselbe Auswahlwahrscheinlichkeit. So lassen sich Wahrscheinlichkeitsfragen auf kombinatorische Abzählprobleme zurückführen.

Es gibt vier Grundformen:

• Mit Zurücklegen und mit Reihenfolge: Variation mit Wiederholung.
• Ohne Zurücklegen und mit Reihenfolge: Variation ohne Wiederholung.
• Mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge: Kombination mit Wiederholung.
• Ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge: Kombination ohne Wiederholung.

Mit Zurücklegen bedeutet, dass jede gezogene Kugel nach der Registrierung wieder in die Urne gelangt. Die Kugelzahl bleibt unverändert und die Ziehungen sind unabhängig. Ohne Zurücklegen nimmt die Kugelzahl nach jedem Zug um eins ab; die Ziehungen sind deshalb nicht unabhängig. Wird die Reihenfolge beachtet, erfasst man zusätzlich, bei welchem Zug eine Kugel erschien. Ohne Beachtung der Reihenfolge zählt nur die Auswahl.

Ergebnismengen und Anzahl der Möglichkeiten

Die Ergebnismenge Ω enthält alle möglichen Ergebnisse. Gleichfarbige Kugeln werden nummeriert, damit sie unterscheidbar sind. Für eine einmalige Ziehung aus N Kugeln gilt Ω = {B₁, B₂, …, B_N} und |Ω| = N. Da alle Kugeln gleich wahrscheinlich sind, liegt ein Laplace-Experiment vor: P({Bᵢ}) = 1/|Ω| = 1/N.

Bei n Ziehungen ergeben sich je nach Grundform unterschiedliche Ergebnismengen und Anzahlen:

• Mit Zurücklegen und mit Reihenfolge werden Ergebnisse als n-Tupel dargestellt. Wiederholungen sind möglich, und |Ω| = Nⁿ.
• Ohne Zurücklegen und mit Reihenfolge sind die Einträge des n-Tupels verschieden. Für n ≤ N gilt |Ω| = N(N−1)···(N−n+1) = N!/(N−n)! = n!·C(N,n) = Nⁿ̲. Nⁿ̲ heißt fallende Faktorielle ab N mit n Faktoren.
• Mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge werden Ergebnisse durch Multimengen beschrieben. Ist mᵢ die Häufigkeit der Kugel Bᵢ, gilt Σᵢ₌₁ᴺ mᵢ = n und |Ω| = C(n+N−1,n) = C(n+N−1,N−1).
• Ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge sind die Ergebnisse n-elementige Teilmengen der N Kugeln. Daher gilt |Ω| = C(N,n).

Für die Beispielurne mit drei roten, einer grünen und zwei blauen Kugeln gibt es bei drei Ziehungen mit Zurücklegen und Reihenfolge 6³ = 216 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Ohne Zurücklegen und mit Reihenfolge sind es 6·5·4 = 120; ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge C(6,3) = 20.

Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten

Ein Ereignis A ist eine Teilmenge der Ergebnismenge: A ⊆ Ω. In einem Laplace-Raum gilt P(A) = |A|/|Ω|. In der Beispielurne umfasst das Ereignis „rot oder grün“ vier von sechs Kugeln, also P(A) = 4/6 = 2/3.

Sind M von N Kugeln von einer bestimmten Farbe, beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei n Ziehungen nur diese Farbe zu erhalten, mit Zurücklegen P(A) = Mⁿ/Nⁿ = (M/N)ⁿ = pⁿ. Ohne Zurücklegen gilt P(A) = Mⁿ̲/Nⁿ̲ = (M/N)·((M−1)/(N−1))···((M−n+1)/(N−n+1)). Für n > M ist sie null. Drei rote Kugeln aus der Beispielurne haben mit Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit 1/8, ohne Zurücklegen 1/20.

Sollen n verschiedene Farben in einer festgelegten Reihenfolge auftreten und enthält die Urne Nⱼ Kugeln der j-ten Farbe, gilt mit Zurücklegen P(A) = (N₁···Nₙ)/Nⁿ = p₁···pₙ mit pⱼ = Nⱼ/N. Ohne Zurücklegen lautet die Wahrscheinlichkeit (N₁···Nₙ)/Nⁿ̲. Für die Reihenfolge rot, grün, blau ergibt die Beispielurne 1/36 mit und 1/20 ohne Zurücklegen.

Ist die Reihenfolge gleichgültig, werden bei n verschiedenen Farben alle n! Permutationen berücksichtigt. Die genannten Wahrscheinlichkeiten werden daher mit n! multipliziert. Für je eine rote, grüne und blaue Kugel ergeben sich 1/6 mit und 3/10 ohne Zurücklegen. Bei wiederholten Farben verwendet man Multinomialkoeffizienten.

Der reduzierte Raum ungeordneter Ziehungen ohne Zurücklegen bleibt ein Laplace-Raum. Mit Zurücklegen sind ungeordnete Ergebnisse dagegen nicht gleich wahrscheinlich: Zwei verschiedene Kugeln zu ziehen ist beispielsweise doppelt so wahrscheinlich wie zweimal dieselbe Kugel.

Paarweise disjunkte, also einander ausschließende Ereignisse dürfen addiert werden: P(A₁ ∪ … ∪ Aₖ) = P(A₁)+…+P(Aₖ). Außerdem gilt für das Gegenereignis P(A) = 1−P(Ω∖A). In der Beispielurne beträgt die Wahrscheinlichkeit für zweimal dieselbe Farbe ohne Zurücklegen 4/15; die Wahrscheinlichkeit, bei zwei solchen Ziehungen keine grüne Kugel zu erhalten, beträgt 2/3.

Wichtige abgeleitete Verteilungen

Anzahlen und Wartezeiten bei Urnenexperimenten sind diskrete Zufallsvariablen. Ihre möglichen Werte sind meist nicht gleich wahrscheinlich.

Enthält die Urne M Kugeln einer Farbe und N−M andere Kugeln, beschreibt X die Anzahl der Kugeln dieser Farbe in n Ziehungen. Mit Zurücklegen gilt P(X=k) = C(n,k)·Mᵏ(N−M)ⁿ⁻ᵏ/Nⁿ = C(n,k)·pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ, mit p = M/N. Dies ist die Binomialverteilung, bei genau einer Ziehung die Bernoulli-Verteilung. Ohne Zurücklegen gilt P(X=k) = C(M,k)·C(N−M,n−k)/C(N,n). Diese Verteilung heißt hypergeometrische Verteilung.

Beschreibt X stattdessen die Wartezeit bis zum k-ten Auftreten der ausgewählten Farbe, gilt mit Zurücklegen P(X=n) = C(n−1,k−1)·pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Dies ist die negative Binomialverteilung; für k = 1 heißt sie geometrische Verteilung. Ohne Zurücklegen entsteht die negative hypergeometrische Verteilung mit P(X=n) = k·C(M,k)·C(N−M,n−k)/(n·C(N,n)).

Bei s Farben mit N₁+…+N_s = N und kⱼ gezogenen Kugeln jeder Farbe gilt mit Zurücklegen P(X₁=k₁,…,X_s=k_s) = C(n;k₁,…,k_s)·p₁ᵏ¹···p_sᵏˢ, mit pⱼ = Nⱼ/N. Das ist die Multinomialverteilung. Ohne Zurücklegen erhält man die multivariate hypergeometrische Verteilung: P(X₁=k₁,…,X_s=k_s) = C(N₁,k₁)···C(N_s,k_s)/C(N,n).

Varianten des Modells

Beim Pólya-Urnenmodell wird die gezogene Kugel zurückgelegt und zusätzlich eine genaue Kopie von ihr hinzugefügt. Die Kugelzahl wächst bei jeder Ziehung um eins. Häufige Farben werden dadurch im Verlauf noch häufiger; das Modell stellt somit selbstverstärkende Effekte dar. Eine daraus ableitbare Verteilung ist die Beta-Binomialverteilung.

Verallgemeinerungen fügen mehrere Kopien hinzu oder legen eine Kugel anderer Farbe zurück beziehungsweise zusätzlich hinein. In Modellen mit mehreren Urnen wird zuerst zufällig eine Urne und danach eine Kugel aus dieser Urne gewählt. Eine verwandte umgekehrte Frage untersucht, wie Kugeln zufällig auf mehrere Urnen verteilt werden.

Anwendungen und physikalische Deutung

Urnenmodelle können zahlreiche Zufallsexperimente darstellen, indem Urne und Kugeln durch passende Objekte ersetzt werden. Dazu gehören Münz- und Würfelwürfe, das Geben von Spielkarten, Lottoziehungen, Lotterien und Roulette. Sie dienen außerdem zur Erklärung des Geburtstagsparadoxons, des Ellsberg-Paradoxons, des Sankt-Petersburg-Paradoxons und des Sammelbilderproblems. Beim Geburtstagsparadoxon haben in einer Gruppe von 23 Menschen mit einer Wahrscheinlichkeit von über 50 % zwei am gleichen Tag Geburtstag, wobei der Jahrgang unberücksichtigt bleibt.

Praktische Einsatzgebiete sind zufällige Stichproben in der Qualitätskontrolle, die Ausfallwahrscheinlichkeit technischer Systeme mit mehreren Komponenten, das Auftreten von Versicherungsfällen, Diffusionsvorgänge im Ehrenfest-Modell und die Modellierung von Infektionsgeschehen mit Pólya-Urnen.

In der statistischen Physik entsprechen die Kugeln beispielsweise Gasmolekülen, Protonen oder Elektronen; Zellen des Phasenraums übernehmen die Rolle der Urnen. Unterscheidbare Teilchen bei erlaubter Mehrfachbesetzung führen zur Maxwell-Boltzmann-Statistik, die in der kinetischen Gastheorie wichtig ist. Nicht unterscheidbare Teilchen bei erlaubter Mehrfachbesetzung führen zur Bose-Einstein-Statistik, unter anderem für Photonen. Nicht unterscheidbare Teilchen ohne Mehrfachbesetzung führen zur Fermi-Dirac-Statistik, unter anderem für Elektronen, Neutronen und Protonen. Die Forderung, dass höchstens ein Teilchen in einer Zelle liegt, entspricht dabei dem Pauli-Verbot.