Multinomialverteilung

Grundidee und Definition

Die Multinomialverteilung (auch Polynomialverteilung) ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie verallgemeinert die Binomialverteilung auf mehr als zwei mögliche Ergebnisse. Sie beschreibt, wie sich bei n unabhängigen Wiederholungen die beobachteten Häufigkeiten auf k Kategorien verteilen.

Für n,k∈ℕ₀ und Wahrscheinlichkeiten p₁,…,pₖ∈[0,1] mit p₁+…+pₖ=1 hat die Verteilung M(n,(p₁,…,pₖ)) für nichtnegative ganze Zahlen n₁,…,nₖ mit n₁+…+nₖ=n die Zähldichte

f(n₁,…,nₖ) = (n über n₁,…,nₖ) p₁ⁿ¹⋯pₖⁿᵏ.

In allen anderen Fällen ist die Wahrscheinlichkeit 0. Der Multinomialkoeffizient ist

(n über n₁,…,nₖ) = n!/(n₁!⋯nₖ!).

Er zählt, auf wie viele Arten die n Ergebnisse so angeordnet werden können, dass Kategorie i genau nᵢ-mal vorkommt.

Urnenmodell und Würfel

Als Modell dient eine Urne mit k Kugelsorten. Die Sorte i hat den Anteil pᵢ. Es werden n-mal Kugeln gezogen, die Sorte wird notiert und jede Kugel anschließend zurückgelegt. Dadurch bleiben die Ziehungen unabhängig und die Wahrscheinlichkeiten pᵢ gleich.

Sind X₁,…,Xₖ die Anzahlen der gezogenen Kugeln je Sorte, dann gilt für x₁+…+xₖ=n:

P(X₁=x₁,…,Xₖ=xₖ) = n!/(x₁!⋯xₖ!) · p₁ˣ¹⋯pₖˣᵏ.

Ein Würfel ist ein Spezialfall mit k=6 Kategorien. Nach n Würfen beschreibt die Verteilung die Wahrscheinlichkeit, dass jede Augenzahl eine vorgegebene Anzahl von Malen auftritt. Die Werte pᵢ geben dabei die Wahrscheinlichkeiten der Würfelflächen an und unterscheiden faire von unfairen Würfeln.

Kennwerte und erzeugende Funktion

Jede einzelne Anzahl Xᵢ ist binomialverteilt mit den Parametern n und pᵢ. Daher gelten

E(Xᵢ)=npᵢ

und

Var(Xᵢ)=npᵢ(1-pᵢ).

Die Kategorien sind nicht unabhängig: Wenn eine Kategorie besonders oft vorkommt, bleiben bei insgesamt n Versuchen weniger Ergebnisse für andere Kategorien. Für i≠j gilt deshalb

Cov(Xᵢ,Xⱼ)=−npᵢpⱼ.

Der Pearson-Korrelationskoeffizient lautet

ρ(Xᵢ,Xⱼ)=−√((pᵢ/(1−pᵢ))(pⱼ/(1−pⱼ))).

Die multivariate wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist

m_X(t)=(∑ᵢ₌₁ᵏ pᵢtᵢ)ⁿ.

Beispiel mit drei Herkunftsorten

In einer Klasse mit 31 Schülern kommen 12 aus Dorf A, 11 aus Dorf B und 8 aus Dorf C. An fünf Tagen wird jeweils zufällig ein Schüler zum Tafelwischen ausgelost. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Schüler aus A, zwei aus B und drei aus C ausgewählt werden.

Es gilt n_A=0, n_B=2, n_C=3 sowie p_A=12/31, p_B=11/31 und p_C=8/31. Damit ergibt sich

M((0,2,3),p_A,p_B,p_C) = 5!/(0!2!3!) · (11/31)² · (8/31)³ = (10·11²·8³)/31⁵ ≈ 0,022.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also ungefähr 0,022.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Für k=2 entsteht die Binomialverteilung: M(n,(p,1−p)) ist die gemeinsame Verteilung von X und n−X, wenn X B(n,p)-verteilt ist.

Mit der multivariaten hypergeometrischen Verteilung teilt die Multinomialverteilung das Urnenmodell. Der entscheidende Unterschied ist das Zurücklegen: Bei der Multinomialverteilung wird nach jeder Ziehung zurückgelegt, bei der multivariaten hypergeometrischen Verteilung nicht. Unter gewissen Umständen kann die multivariate hypergeometrische Verteilung durch die Multinomialverteilung approximiert werden.