Binomialverteilung

Grundidee und Definition

Die Binomialverteilung ist eine wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Serie von n gleichartigen, unabhängigen Versuchen, bei denen jeder Versuch genau zwei Ergebnisse hat: Erfolg oder Misserfolg. Solche Versuchsserien heißen Bernoulli-Prozesse. Im Urnenmodell entspricht dies dem Ziehen mit Zurücklegen.

Ist p die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs, dann bezeichnet B(k | p,n) die Wahrscheinlichkeit, genau k Erfolge zu erzielen. Für n ∈ ℕ und p ∈ [0,1] gilt:

B(k | p,n) = {n über k} · p^k · (1−p)^(n−k) für k ∈ {0,1,…,n}, andernfalls 0.

Dabei ist {n über k} der Binomialkoeffizient. Der Faktor p^k beschreibt die k Erfolge, der Faktor (1−p)^(n−k) die n−k Misserfolge. Der Binomialkoeffizient zählt, auf wie viele Arten die k Erfolge auf die n Versuche verteilt werden können. Die komplementäre Misserfolgswahrscheinlichkeit wird häufig mit q = 1−p bezeichnet. Für die Formel wird die Konvention 0^0 := 1 verwendet.

Eine Zufallsvariable X mit dieser Verteilung wird mit X ~ Bin(n,p) oder X ~ 𝔅(n,p) bezeichnet. Ihr möglicher Wertebereich ist {0,…,n}. Die Wahrscheinlichkeiten summieren sich wegen des binomischen Lehrsatzes zu 1:

Σ(k=0 bis n) {n über k} p^k(1−p)^(n−k) = (p+(1−p))^n = 1.

Die Verteilungsfunktion lautet F_X(x) = P(X ≤ x) = Σ(k=0 bis min(n,⌊x⌋)) {n über k}p^k(1−p)^(n−k).

Herleitung und zentrale Kennzahlen

Im Urnenmodell enthält eine Urne N Bälle, davon M schwarze und N−M weiße. Es werden n-mal Bälle zufällig gezogen und jeweils zurückgelegt. Dann ist p = M/N die Wahrscheinlichkeit für Schwarz. Insgesamt gibt es N^n gleichwahrscheinliche Ziehungsfolgen. Für genau k schwarze Ziehungen gibt es {n über k}M^k(N−M)^(n−k) Möglichkeiten. Daher ergibt sich:

p_k = {n über k}(M/N)^k((N−M)/N)^(n−k) = {n über k}p^k(1−p)^(n−k).

Für X ~ Bin(n,p) gelten der Erwartungswert E(X) = np und die Varianz Var(X) = np(1−p). Die Standardabweichung ist somit σ = √(np(1−p)), der Variationskoeffizient beträgt √((1−p)/(np)).

Für 0 < p < 1 ist die Schiefe (1−2p)/√(np(1−p)). Die Verteilung ist rechtsschief für p < 1/2 und linksschief für p > 1/2. Ihre Wölbung ist 3 + (1−6p(1−p))/(np(1−p)); der Exzess ist (1−6p(1−p))/(np(1−p)). Symmetrisch ist die Binomialverteilung für p = 0, p = 0,5 und p = 1. Allgemein gilt B(k | p,n) = B(n−k | 1−p,n).

Der Modus ist der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Für p < 1 gilt k = ⌊(n+1)p⌋; falls (n+1)p eine natürliche Zahl ist, ist auch k = (n+1)p−1 ein Modus. Für p = 1 ist der Modus n. Ist der Erwartungswert np eine natürliche Zahl, stimmt er mit dem Modus überein.

Eine allgemeine geschlossene Formel für den Median existiert nicht. Ist np ganzzahlig, stimmen Erwartungswert, Median und Modus überein. Ein Median m liegt im Intervall ⌊np⌋ ≤ m ≤ ⌈np⌉ und erfüllt |m−np| ≤ min{ln 2, max{p,1−p}}. Für p = 1/2 und ungerades n ist jede Zahl im Intervall (n−1)/2 ≤ m ≤ (n+1)/2 ein Median; für gerades n ist n/2 der eindeutige Median.

Erzeugende Funktionen und Summen

Die kumulantenerzeugende Funktion lautet g_X(t) = n ln(pe^t + q), wobei q = 1−p. Die ersten Kumulanten sind κ₁ = np und κ₂ = npq. Außerdem gilt die Rekursion κ_(k+1) = p(1−p)·dκ_k/dp.

Die charakteristische Funktion ist φ_X(s) = ((1−p)+p e^(is))^n = (q+p e^(is))^n. Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion lautet g_X(s) = (ps+(1−p))^n, die momenterzeugende Funktion m_X(s) = E(e^(sX)) = (p e^s + (1−p))^n.

Die Binomialverteilung ist für festes p reproduktiv. Sind X und Y unabhängig binomialverteilt mit Parametern (n₁,p) und (n₂,p), dann gilt X+Y ~ Bin(n₁+n₂,p). Entsprechend ist Bin(n,p) * Bin(m,p) = Bin(n+m,p). Allgemein ist die Summe unabhängiger Zufallsvariablen X_i ~ Bin(n_i,p) wieder binomialverteilt mit den Parametern n₁+…+n_m und p. Haben die Summanden unterschiedliche Erfolgswahrscheinlichkeiten, entsteht dagegen eine verallgemeinerte Binomialverteilung.

Bedingt man die Summe Z = X+Y auf Z = k, folgt X beziehungsweise Y einer hypergeometrischen Verteilung. Die Binomialverteilung lässt sich außerdem als Summe von n unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen auffassen. Für n = 1 ist sie selbst die Bernoulli-Verteilung.

Näherungen und Beziehungen zu anderen Verteilungen

Nach dem Satz von Moivre-Laplace kann die Binomialverteilung für hinreichend großes n und nicht zu kleine Erfolgswahrscheinlichkeit durch eine Normalverteilung angenähert werden. Mit μ = np und σ² = npq gilt näherungsweise:

B(k | p,n) ≈ Φ((k+0,5−np)/√(npq)) − Φ((k−0,5−np)/√(npq))

und weiter ungefähr (1/√(npq))·(1/√(2π))·exp(−(k−np)²/(2npq)). Die ±0,5 berücksichtigen dabei die Stetigkeitskorrektur. Diese Normal-Approximation dient dazu, Wahrscheinlichkeiten vieler Werte schnell zu bestimmen.

Für n → ∞, p → 0 und np → λ geht die Binomialverteilung in die Poisson-Verteilung über:

B(k | p,n) → (λ^k/k!)e^(−λ).

Diese Poisson-Approximation heißt auch Poissonscher Grenzwertsatz oder Gesetz seltener Ereignisse. Als Faustregel gilt, dass sie bei n ≥ 50 und p ≤ 0,05 brauchbar ist.

Die geometrische Verteilung beschreibt die Zahl der Misserfolge bis zum ersten Erfolg. Die negative Binomialverteilung beantwortet die umgekehrte Fragestellung zur Binomialverteilung: Sie bestimmt, wie viele Versuche erforderlich sind, um eine vorgegebene Zahl von Erfolgen zu erreichen. Bei der Binomialverteilung ist n fest und die Zahl X der Erfolge zufällig; bei der negativen Binomialverteilung ist die Erfolgszahl x fest und die Versuchszahl N zufällig.

Die hypergeometrische Verteilung wird beim Ziehen ohne Zurücklegen verwendet. Bei n/N ≤ 0,05 kann die Binomialverteilung häufig auch ohne Zurücklegen als Näherung verwendet werden. Die Binomialverteilung ist außerdem ein Spezialfall der Multinomial-, Panjer-, Pólya- und verallgemeinerten Binomialverteilung. Ist p = 0,5, kann eine binomialverteilte Variable als Y = 0,5(n + ΣX_i) mit Rademacher-verteilten X_i dargestellt werden. Eine Beta-verteilte Erfolgswahrscheinlichkeit p führt zur Beta-Binomialverteilung, einer Mischverteilung.

Typische Beispiele

Beim zehnmaligen Würfeln mit einem fairen Spielwürfel ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6 p = 1/6 und für keine 6 q = 5/6. Die Wahrscheinlichkeit, keine einzige 6 zu würfeln, beträgt (5/6)^10 ≈ 0,162. Genau zwei Sechsen treten mit der Wahrscheinlichkeit {10 über 2}(1/6)^2(5/6)^8 ≈ 0,29071 auf. Allgemein beschreibt Bin(10,1/6) die Zahl der gewürfelten Sechsen.

Beim siebenmaligen Werfen einer fairen Münze ist die Zahl X der Ergebnisse „Zahl“ binomialverteilt mit X ~ Bin(7,1/2). Für k = 0,…,7 lauten die Wahrscheinlichkeiten 1/128, 7/128, 21/128, 35/128, 35/128, 21/128, 7/128 und 1/128. Erwartungswert und Varianz sind E(X) = 3,5 und Var(X) = 1,75; die Standardabweichung beträgt ungefähr 1,323.

Befinden sich 80 Kugeln in einem Behälter, davon 16 gelbe, und wird fünfmal mit Zurücklegen gezogen, ist p = 16/80 = 1/5. Die Wahrscheinlichkeit für genau drei gelbe Kugeln ist B(3 | 1/5;5) = {5 über 3}(1/5)^3(4/5)^2 = 64/1250 = 0,0512, also ungefähr 5 %.

Im vereinfachten Geburtstagsmodell hat eine Person mit Wahrscheinlichkeit 2/7 an einem Wochenende Geburtstag. Für 10 Personen beschreibt Bin(k | 2/7;10) die Zahl der Personen mit Wochenendgeburtstag; der Erwartungswert ist 2,86 und die Varianz 2,04. Für 253 Personen und einen zufällig gewählten Tag gilt p = 1/365. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Person an diesem Tag Geburtstag hat, ist 1−B(0 | 1/365;253) = 50,05 %. Bei 252 Personen beträgt sie 49,91 %, sodass die Schwelle bei 253 Personen liegt. Die Poisson-Näherung mit λ = 253/365 liefert hier nahezu dieselben Werte.

Anwendungen und Berechnung

In einer Meinungsumfrage mit n Personen, von denen k Partei A wählen, kann die Binomialverteilung zur Bestimmung eines 95-%-Konfidenzintervalls für den unbekannten Wähleranteil verwendet werden. Eine Lösung ohne Rückgriff auf die Normalverteilung wird im Artikel zum Konfidenzintervall für die Erfolgswahrscheinlichkeit der Binomialverteilung behandelt.

Im Auslastungsmodell beschreibt die Formel

P(X=k) = {n über k}(m/60)^k(1−m/60)^(n−k)

die Wahrscheinlichkeit, dass k von n Personen gleichzeitig eine Tätigkeit ausführen, die durchschnittlich m Minuten pro Stunde dauert.

Zufallszahlen aus der Binomialverteilung werden üblicherweise mit der Inversionsmethode erzeugt. Alternativ erzeugt man n unabhängige Bernoulli-verteilte Zufallszahlen und addiert sie.

Für konkrete Berechnungen wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion in Taschenrechnern und mathematischer Software häufig mit binom, pdfbin oder Binomialpdf bezeichnet. Die kumulierte Verteilungsfunktion findet man unter cdfbin oder Binomialcdf. Für die Berechnung kumulierter Wahrscheinlichkeiten besteht außerdem die Beziehung zur Betaverteilung:

Σ(i=0 bis k) {n über i}p^i(1−p)^(n−i) = Beta(1−p; n−k; k+1).

Diese Beziehung ist besonders bei statistischen Tests und Konfidenzintervallen nützlich.