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Geometrische Verteilung
Die geometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, die univariat ist und zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen …
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Kernidee und Definition
Die geometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung der Stochastik. Sie beschreibt Wartezeiten in einer Folge unabhängiger Bernoulli-Experimente. Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen: Erfolg mit Wahrscheinlichkeit p und Misserfolg mit Wahrscheinlichkeit q=1-p. Der Parameter liegt bei p ∈ (0,1).
Es gibt zwei gebräuchliche Varianten. Variante A beschreibt die Anzahl X der Versuche, die nötig sind, bis zum ersten Mal ein Erfolg eintritt. Diese Zufallsgröße ist auf der Menge N definiert. Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet P(X=n)=p(1-p)^(n-1)=pq^(n-1) für n=1,2,....
Variante B beschreibt die Anzahl Y der Fehlversuche vor dem ersten Erfolg. Diese Zufallsgröße ist auf der Menge N_0 definiert. Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet P(Y=n)=p(1-p)^n=pq^n für n=0,1,2,....
Die beiden Varianten hängen einfach zusammen: X=Y+1. Welche Variante als „geometrische Verteilung“ bezeichnet wird, muss daher vorher festgelegt werden oder richtet sich danach, welche Form im jeweiligen Problem zweckmäßiger ist. In beiden Varianten bilden die Wahrscheinlichkeiten eine geometrische Folge.
Die Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens einen bestimmten Wert anzunehmen. Für Variante A gilt F(n)=P(X≤n)=1-q^n=1-(1-p)^n. Für Variante B gilt F(n)=P(Y≤n)=1-q^(n+1)=1-(1-p)^(n+1).
Bedeutung und typische Anwendungen
Die geometrische Verteilung ist wichtig, weil sie viele Situationen beschreibt, in denen man auf das erste Eintreten eines Ereignisses wartet. Sie wird zum Beispiel bei der Analyse von Wartezeiten bis zum Eintreffen eines bestimmten Ereignisses verwendet.
Ein typischer Anwendungsbereich ist die Lebensdauerbestimmung von Geräten und Bauteilen, also das Warten bis zum ersten Ausfall. Sie kann außerdem bei der Bestimmung der Anzahl häufiger Ereignisse zwischen unmittelbar aufeinanderfolgenden seltenen Ereignissen genutzt werden, etwa bei Fehlern.
Genannte Anwendungen sind die Bestimmung der Zuverlässigkeit von Geräten, insbesondere MTBF, die Bestimmung des Risikos in der Versicherungsmathematik und die Bestimmung der Fehlerrate in der Datenübertragung. Ein Beispiel aus der Datenübertragung ist die Anzahl der erfolgreich übertragenen TCP-Pakete zwischen zwei Paketen mit Retransmission.
Wichtige Kenngrößen
Der Erwartungswert beschreibt den durchschnittlich zu erwartenden Wert der Zufallsgröße. Für Variante A gilt E(X)=1/p. Für Variante B gilt E(Y)=E(X)-1=(1-p)/p. Anschaulich bedeutet das bei Variante A: Wenn ein Erfolg in jedem Versuch mit Wahrscheinlichkeit p eintritt, beträgt die erwartete Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg 1/p.
Die Varianz misst die Streuung der Verteilung. Für beide Varianten gilt Var(X)=Var(Y)=(1-p)/p^2=1/p^2-1/p.
Die geometrische Verteilung ist rechtsschief. Die Schiefe beträgt für beide Varianten v(X)=v(Y)=(2-p)/sqrt(1-p). Die Wölbung lässt sich ebenfalls für beide Varianten angeben: β_2=9+p^2/(1-p). Der Exzess ist γ=6+p^2/(1-p).
Der Modus ist der wahrscheinlichste Wert. Bei Variante A ist der Modus 1, bei Variante B ist der Modus 0. Das passt zur Definition: Am wahrscheinlichsten ist, dass der erste Erfolg sofort im ersten Versuch auftritt, beziehungsweise dass es vor dem ersten Erfolg keinen Fehlversuch gibt.
Der Median ist ein Wert, der die Verteilung in zwei Hälften teilt, muss hier aber nicht eindeutig sein. Für Variante A gilt m~=ceil(-1/log_2(1-p)). Für Variante B gilt m~=ceil(-1/log_2(1-p))-1. Dabei bezeichnet ceil(·) die Gaußklammer.
Die Entropie, also ein Maß für die Unbestimmtheit der Verteilung, ist für beide Varianten H=(-(1-p)log_2(1-p)-p log_2 p)/p.
Gedächtnislosigkeit und Erzeugende Funktionen
Eine zentrale Eigenschaft der geometrischen Verteilung ist die Gedächtnislosigkeit. Das bedeutet: Wenn bereits bekannt ist, dass der erste Erfolg noch nicht eingetreten ist, verändert diese Information die weitere Wartezeitverteilung nicht. Für Variante A gilt P(X=n+k | X>n)=P(X=k) für n,k=1,2,.... Für Variante B gilt P(Y=n+k | Y≥n)=P(Y=k) für n,k=0,1,2,....
Die Gedächtnislosigkeit ist sogar eine definierende Eigenschaft: Die geometrische Verteilung ist die einzige mögliche gedächtnislose diskrete Verteilung. Ihr stetiges Gegenstück ist die Exponentialverteilung.
Zur weiteren Beschreibung der Verteilung werden verschiedene Funktionen angegeben. Die charakteristische Funktion lautet für Variante A φ_X(s)=pe^(is)/(1-(1-p)e^(is)) und für Variante B φ_Y(s)=p/(1-(1-p)e^(is)).
Die momenterzeugende Funktion lautet für Variante A M_X(s)=pe^s/(1-(1-p)e^s) und für Variante B M_Y(s)=p/(1-(1-p)e^s). Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion lautet für Variante A m_X(t)=pt/(1-(1-p)t) und für Variante B m_Y(t)=p/(1-(1-p)t).
Beziehungen zu anderen Verteilungen
Die geometrische Verteilung steht in enger Beziehung zur negativen Binomialverteilung. Die negative Binomialverteilung verallgemeinert die geometrische Verteilung auf mehrere Erfolge: Sie beschreibt, wie viele Versuche für r Erfolge nötig sind oder wie viele Misserfolge vor dem r-ten Erfolg auftreten. Umgekehrt ist die geometrische Verteilung eine negative Binomialverteilung mit r=1. Für die Faltung gilt Geom(p)*Geom(p)=NegBin(2,p).
Die Summe X=sum_{i=1}^k X_i unabhängiger geometrisch verteilter Zufallsgrößen mit demselben Parameter p ist nicht geometrisch verteilt, sondern negativ binomialverteilt. Deshalb ist die Familie der geometrischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht reproduktiv.
Zur Exponentialverteilung besteht eine Grenzwertbeziehung. Für eine Folge geometrisch verteilter Zufallsvariablen X_1,X_2,X_3,... mit Parametern p_1,p_2,p_3,... gelte lim_{n→∞} n p_n=λ mit positiver Konstante λ. Dann konvergiert X_n/n für große n gegen eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter λ. Die Exponentialverteilung ist das kontinuierliche Analogon zur diskreten geometrischen Verteilung.
Variante B entsteht außerdem als Spezialfall der zusammengesetzten Poisson-Verteilung in Kombination mit der logarithmischen Verteilung. Dafür wählt man p_log=1-p_geom und -λ=ln(1-p_log). Damit ist die geometrische Verteilung auch unendlich teilbar.
Auch ein Urnenmodell ist möglich, wenn p=p_1/p_2 ∈ Q ist. Dann entsteht die geometrische Verteilung beim Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit p_2 Kugeln, von denen p_1 markiert sind. Sie beschreibt dann die Wartezeit auf den ersten Erfolg bei Variante A beziehungsweise die Zeit bis zum letzten Misserfolg bei Variante B.
Zufallszahlen
Zufallszahlen zur geometrischen Verteilung werden üblicherweise mit der Inversionsmethode erzeugt. Diese Methode eignet sich hier besonders gut, weil die Einzelwahrscheinlichkeiten der einfachen Rekursion P(X=k+1)=(1-p)P(X=k) folgen.
Dadurch kann die Inversionsmethode bei der geometrischen Verteilung nur mit rationalen Operationen wie Addition und Multiplikation durchgeführt werden. Die Verteilungsfunktion muss vorher nicht berechnet und gespeichert werden. Das ermöglicht einen schnellen Algorithmus zur Simulation.
