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Die vier Urnenmodelle | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 19 Zeilen
- In diesem Video lernst du die vier Urnenmodelle der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennen. Die Urnenmodelle sind Zufallsexperimente, bei denen aus einem Gefäß, der sogenannten Urne, Kugeln gezogen werden.
- Man spricht deshalb von „Modellen“, weil man mithilfe der Urnenmodelle viele andere Zufallsexperimente simulieren kann. Der Grundaufbau ist bei jedem Urnenmodell identisch:
- Es gibt eine Urne und in ihr liegen Kugeln. Die Kugeln kann man nur anhand der Farbe oder der Beschriftung unterscheiden.
- Im Bild sind es 10 Kugeln. Es kann aber auch jede andere Anzahl sein. Allgemein sagt man: „Gegeben ist eine Urne mit n Kugeln.“
- n ist dabei 1, 2, 3 oder jede andere natürliche Zahl. Jetzt werden aus der Urne zufällig Kugeln gezogen.
- „Zufällig“ bedeutet: Man hat keinen Einfluss darauf, welche Kugeln gezogen werden. Stell dir zum Beispiel vor, dass der Person, die zieht, die Augen verbunden werden.
- Dann kann man davon ausgehen, dass jede Kugel mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wird. Wie oft gezogen wird, dafür steht die Zahl k. Das Ergebnis des Zufallsexperiments steht also erst nach dem k-ten Ziehen fest.
- So weit zu den Gemeinsamkeiten der vier Urnenmodelle. Jetzt zu den Unterschieden:
- Man unterscheidet, ob jede Kugel nach dem Ziehen in die Urne zurücklegt wird oder nicht. Wird eine gezogene Kugel zurückgelegt, so befinden sich beim nächsten Ziehen wieder die gleichen Kugeln in der Urne.
- Bei zwei Ziehungen mit Zurücklegen kann es also vorkommen, dass beide Male die rote Kugel gezogen wird. Wird hingegen ohne Zurücklegen gezogen, so ändert sich nach jedem Ziehen die Zusammensetzung der Urne.
- Wird in diesem Fall die rote Kugel bei der ersten Ziehung gezogen, steht sie bei der zweiten nicht mehr zur Verfügung. Ein weiterer Unterschied betrifft das Ergebnis:
- Man unterscheidet, ob die Reihenfolge der gezogenen Kugeln eine Rolle spielt oder ob die Reihenfolge egal ist. Im Beispiel bedeutet das: Wenn die Reihenfolge wichtig ist, dann sind beim zweimaligen Ziehen „rot-blau“ und „blau-rot“ zwei verschiedene Ergebnisse.
- Ist die Reihenfolge jedoch unwichtig, dann sind „blau-rot“ und „rot-blau“ das gleiche Ergebnis. Denn in beiden Fällen hat man eine rote und eine blaue Kugel gezogen.
- So ist es zum Beispiel beim Ziehen der Lottozahlen: In welcher Reihenfolge die Zahlen gezogen werden, hat keine Bedeutung . Es kommt lediglich darauf an, welche Zahlen gezogen werden.
- Stell dir nun vor, du sollst ein Zufallsexperiment mithilfe von Kugeln simulieren. Du entscheidest dann zuerst, ob die Kugeln nach dem Ziehen zurücklegt werden oder nicht zurücklegt werden.
- Angenommen sie werden zurücklegt. Dann entscheidest du als nächstes, ob die Reihenfolge der Ziehungen eine Rolle spielt oder ob sie keine Rolle spielt.
- Und auch wenn ohne Zurücklegen gezogen wird, musst du entscheiden, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt oder nicht. Auf diese Weise erhältst du vier verschiedene Urnenmodelle.
- Bis hierhin war alles recht theoretisch. Konkreter wird es in den nächsten vier Videos. In ihnen lernst du jedes Urnenmodell anhand eines Beispiels kennen.
- Und du erfährst, wie die Urnenmodelle dir helfen, Anordnungen und Auswahlen zu zählen und Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
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