Hypergeometrische Verteilung

Kernidee und Modell

Die hypergeometrische Verteilung ist eine univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie beschreibt Zufallsexperimente, bei denen aus einer endlichen Grundgesamtheit ohne Zurücklegen eine Stichprobe gezogen wird. Wichtig ist sie zum Beispiel bei Qualitätskontrollen, beim Ziehen von Kugeln aus einer Urne, beim Lotto oder bei Kartenspielen.

Die Grundgesamtheit hat den Umfang N. Davon besitzen M Elemente eine bestimmte gewünschte Eigenschaft, zum Beispiel „blau“, „gelb“, „Ass“ oder „angekreuzte Lottozahl“. Aus den N Elementen werden n Elemente zufällig und ohne Zurücklegen ausgewählt. Die Zufallsvariable X zählt, wie viele der gezogenen Elemente die gewünschte Eigenschaft haben. Die hypergeometrische Verteilung gibt dann die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau k Treffer auftreten.

Im Urnenmodell bedeutet das: In einer Urne liegen N Kugeln, davon sind M Kugeln von einer bestimmten Sorte. Es werden n Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. X ist die Anzahl der gezogenen Kugeln dieser Sorte. „Ohne Zurücklegen“ ist entscheidend: Nach jedem Zug verändert sich die Zusammensetzung der verbleibenden Urne.

Definition und Formeln

Die hypergeometrische Verteilung hängt von drei Parametern ab: N ist die Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit, M ≤ N ist die Anzahl der Elemente mit der betrachteten Eigenschaft, und n ≤ N ist der Umfang der Stichprobe.

Der mögliche Wertebereich für die Trefferzahl k ist Ω = {max{0, n + M − N}, …, min{n, M}}. Das bedeutet: Man kann nicht weniger Treffer ziehen, als wegen der begrenzten Zahl der Nicht-Treffer mindestens nötig sind, und nicht mehr Treffer, als es in der Stichprobe oder in der Grundgesamtheit überhaupt geben kann.

Eine diskrete Zufallsgröße X ist hypergeometrisch verteilt mit den Parametern M, N und n, wenn gilt: h(k|N;M;n) := P(X = k) = (M über k)(N − M über n − k) / (N über n) für k ∈ Ω. Der Ausdruck „N über n“ ist ein Binomialkoeffizient und zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, n Elemente aus N Elementen auszuwählen.

Man schreibt dafür X ~ Hyp_{N,M,n} oder X ~ H(N,M,n). Die Verteilungsfunktion H(k|N;M;n) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens k Treffer in der Stichprobe vorkommen: H(k|N;M;n) := P(X ≤ k) = Σ_{y=0}^{k} h(y|N;M;n).

Eine alternative Parametrisierung verwendet zwei Gruppen B1 und B2: Hyp_{B1,B2,n}({k}) = (B2 über k)(B1 über n − k) / (B1 + B2 über n). Sie entspricht der obigen Schreibweise mit N = B1 + B2 und M = B2.

Wichtige Eigenschaften

Die hypergeometrische Verteilung besitzt Symmetrien. Erstens kann man gezogene Kugeln und Erfolge vertauschen: h(k|N;M;n) = h(k|N;n;M). Zweitens kann man Erfolge und Misserfolge vertauschen: h(k|N;M;n) = h(n − k|N;N − M;n).

Der Erwartungswert, also der durchschnittlich zu erwartende Trefferwert bei vielen Wiederholungen, ist E(X) = n · M/N. Er entspricht dem Stichprobenumfang multipliziert mit dem Anteil der Treffer in der Grundgesamtheit.

Der Modus, also ein wahrscheinlichster Wert der Verteilung, ist ⌊((n + 1)(M + 1))/(N + 2)⌋. Dabei bezeichnet ⌊ · ⌋ die Gaußklammer, also das Abrunden auf die nächstkleinere ganze Zahl.

Die Varianz, ein Maß für die Streuung der Werte um den Erwartungswert, ist Var(X) = n · M/N · (1 − M/N) · (N − n)/(N − 1). Der letzte Faktor (N − n)/(N − 1) heißt Korrekturfaktor oder Endlichkeitskorrektur. Er tritt auf, weil ohne Zurücklegen gezogen wird.

Die Schiefe der Verteilung ist v(X) = ((N − 2M)(N − 1)^{1/2}(N − 2n)) / ([nM(N − M)(N − n)]^{1/2}(N − 2)). Zusätzlich können charakteristische Funktion, momenterzeugende Funktion und wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion mit der gaußschen hypergeometrischen Funktion _2F_1 ausgedrückt werden.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Die hypergeometrische Verteilung ist eng mit anderen Wahrscheinlichkeitsverteilungen verbunden. Der wichtigste Vergleich ist die Binomialverteilung. Bei der Binomialverteilung wird so modelliert, als ob die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch gleich bleibt, etwa durch Ziehen mit Zurücklegen. Bei der hypergeometrischen Verteilung wird dagegen ohne Zurücklegen gezogen, sodass sich die Wahrscheinlichkeiten während der Ziehung verändern.

Wenn der Stichprobenumfang n im Vergleich zur Grundgesamtheit N klein ist, unterscheiden sich die Ergebnisse beider Verteilungen kaum. Als Faustregel nennt der Artikel n/N < 0,05. Dann wird häufig die mathematisch einfachere Binomialverteilung als Approximation verwendet.

Die hypergeometrische Verteilung ist außerdem ein Spezialfall der Pólya-Verteilung mit c = −1. Die multivariate hypergeometrische Verteilung verallgemeinert sie auf Urnen mit mehr als zwei unterscheidbaren Farben. Bei genau zwei Farben stimmt die multivariate Form mit der gewöhnlichen hypergeometrischen Verteilung überein.

Typische Beispiele

Beim Lotto gibt es 49 nummerierte Kugeln, von denen 6 gezogen werden. Auf einem Lottoschein werden ebenfalls 6 Zahlen angekreuzt. Die Wahrscheinlichkeit, genau x Richtige zu haben, wird mit h(x|49;6;6) beschrieben, wobei x ∈ {0,1,2,3,4,5,6}. Die Zahlenwerte sind zum Beispiel: 0 Richtige mit 43,5965 %, 1 Richtiger mit 41,3019 %, 2 Richtige mit 13,2378 %, 3 Richtige mit 1,765 %, 4 Richtige mit 0,0969 %, 5 Richtige mit 0,0018 % und 6 Richtige mit 0,0000072 %. Der Erwartungswert beträgt 0,7347 und die Varianz 0,5776.

Bei Texas Hold’em werden aus 52 Spielkarten fünf Community Cards aufgedeckt. Wenn X die Anzahl der Asse unter diesen fünf Karten zählt, gilt h(k|52;4;5), denn es gibt N = 52 Karten, M = 4 Asse und n = 5 aufgedeckte Karten. Für genau zwei Asse ist P(X = 2) = h(2|52;4;5) = ((4 über 2)(48 über 3))/(52 über 5) = 103776/2598960 ≈ 0,0399. Das heißt, in etwa vier Prozent der Fälle werden genau zwei Asse aufgedeckt. Der Erwartungswert ist μ = 5 · 4/52 = 5/13, die Varianz etwa 0,327 und die Standardabweichung etwa 0,572.

Ein ausführliches Kugelbeispiel betrachtet 45 Kugeln, von denen 20 gelb sind. Es werden 10 Kugeln ohne Zurücklegen entnommen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für genau 4 gelbe Kugeln: N = 45, M = 20, n = 10, k = 4. Es gibt (20 über 4) = 4845 Möglichkeiten, genau 4 gelbe Kugeln auszuwählen, und (25 über 6) = 177100 Möglichkeiten für die übrigen 6 nicht gelben Kugeln. Insgesamt gibt es (45 über 10) = 3190187286 mögliche Ziehungen. Damit gilt P(X = 4) = h(4|45;20;10) = ((20 über 4)(25 über 6))/(45 über 10) = 858049500/3190187286 ≈ 0,269. Also werden in rund 27 Prozent der Fälle genau 4 gelbe und 6 violette Kugeln gezogen.