Diskrete Gleichverteilung

Grundidee und Bedeutung

Die diskrete Gleichverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable mit endlich vielen möglichen Ergebnissen. Sie liegt vor, wenn jede Ausprägung gleich wahrscheinlich ist. Hat eine diskrete Zufallsvariable X die Ausprägungen x_1, ..., x_n, dann gilt für jedes i aus {1, ..., n}: P(X = x_i) = 1/n.

Sie gehört zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen, weil die möglichen Werte einzeln aufzählbar sind. Sie ist univariat, das heißt, sie beschreibt nur eine Zufallsvariable. Wichtig ist sie vor allem bei Zufallsexperimenten, deren Ergebnisse als gleich wahrscheinlich angenommen werden. Solche Experimente heißen Laplace-Experimente. Beispiele sind ein perfekter sechsseitiger Würfel, bei dem jede Zahl von 1 bis 6 mit Wahrscheinlichkeit 1/6 fällt, oder eine perfekte Münze, bei der jede Seite mit Wahrscheinlichkeit 1/2 fällt.

Definitionen und Verteilungsfunktionen

Die diskrete Gleichverteilung wird mit U_T bezeichnet, wobei T der Träger ist. Der Träger ist die Menge aller Werte, die die Zufallsvariable mit positiver Wahrscheinlichkeit annehmen kann.

Im allgemeinen Fall ist T = {x_1, ..., x_n}, wobei x_i < x_j gilt, wenn i < j ist. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet: P(X = x) = f(x) = 1/n für x = x_i mit i = 1, ..., n, und 0 sonst. Die Verteilungsfunktion, also F_X(t) = P(X <= t), ist F_X(t) = |{k: x_k <= t}| / n. Hier sind auch nichtnatürliche Werte für die x_i erlaubt.

Für ganze Zahlen wählt man a < b aus Z mit b - a = n - 1 und T = {a, a+1, ..., b}. Dann gilt P(X = x) = 1/n für x in T und 0 sonst. Die Verteilungsfunktion ist 0 für t < a, gleich (floor(t) - a + 1)/(b - a + 1) für a <= t < b, und 1 für t >= b.

Als Spezialfall auf den natürlichen Zahlen bis n ist T = {1, 2, ..., n}. Dann gilt P(X = x) = 1/n für x in N und x <= n, sonst 0. Die Verteilungsfunktion ist 0 für t < 1, gleich floor(t)/n für 1 <= t < n, und 1 für t >= n. Dabei bezeichnet floor(t) die Abrundungsfunktion.

Zentrale Kennzahlen

Der Erwartungswert ist der langfristige Durchschnittswert einer Zufallsvariable. Im allgemeinen Fall gilt E(X) = (1/n) * Summe von i = 1 bis n über x_i. Für T = {a, ..., b} ergibt sich E(X) = (a+b)/2. Für T = {1, ..., n} wird daraus E(X) = (n+1)/2. Diese Formeln folgen mithilfe der Gaußschen Summenformel.

Die Varianz misst, wie stark die Werte um den Erwartungswert streuen. Im allgemeinen Fall lautet sie Var(X) = (1/n) * (Summe x_i^2 - (1/n) * (Summe x_i)^2). Für T = {a, ..., b} gilt Var(X) = ((b-a+1)^2 - 1)/12. Für T = {1, ..., n} gilt Var(X) = (n^2 - 1)/12.

Im zweiten und dritten Fall ist die Verteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert. Deshalb ist dort die Schiefe gleich Null: v(X) = 0. Im allgemeinen Fall kann man das nur schließen, wenn die Verteilung symmetrisch ist.

Die Entropie beträgt in allen drei Varianten H(X) = log_2(n) Bit. Entropie misst hier die Unsicherheit der Verteilung. Unter allen diskreten Verteilungen hat die Gleichverteilung die größtmögliche Entropie.

Weitere Eigenschaften und Funktionen

Der Median ist ein mittlerer Wert der Verteilung. Im allgemeinen Fall fällt er mit dem Median der Werte x_1, ..., x_n zusammen. Für ungerades n ist er x_((n+1)/2), für gerades n ist er 1/2 * (x_(n/2) + x_(n/2+1)). Für T = {a, ..., b} ist der Median (a+b)/2, für T = {1, ..., n} ist er (n+1)/2.

Der Modus ist der wahrscheinlichste Wert. Bei der diskreten Gleichverteilung sind aber alle Werte des Trägers gleich wahrscheinlich. Deshalb ist der Modus genau der gesamte Träger, also (x_i) für i = 1, ..., n, beziehungsweise {a, ..., b} oder {1, ..., n}; er hat hier wenig Aussagekraft.

Für die Wölbung und den Exzess werden im Artikel Formeln angegeben. Im zweiten Fall ist der Exzess gamma = -1,2 - 0,2 * Var(X)^(-1) = -6/5 - 12/(5(b-a+2)(b-a)); die Wölbung ist beta_2 = 1,8 - 0,2 * Var(X)^(-1). Im dritten Fall vereinfacht sich das zu gamma = -1,2 - 12/(5(n^2 - 1)) und beta_2 = 1,8 - 12/(5(n^2 - 1)).

Außerdem werden erzeugende Funktionen genannt. Für a,b >= 0 ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion im zweiten Fall m_X(t) = (t^a - t^(b+1))/(n(1-t)); im dritten Fall m_X(t) = t(1-t^n)/(n(1-t)). Die momenterzeugende Funktion ist für ganze a < b: M_X(t) = (e^(at) - e^((b+1)t))/(n(1-e^t)), beziehungsweise (e^t - e^((n+1)t))/(n(1-e^t)). Die charakteristische Funktion ist phi_X(t) = (e^(iat) - e^(i(b+1)t))/(n(1-e^(it))), beziehungsweise (e^(it) - e^(i(n+1)t))/(n(1-e^(it))).

Schätzen des unbekannten Maximums

Ein wichtiges Schätzproblem zur diskreten Gleichverteilung ist das Taxiproblem. Dabei nimmt man an, dass eine Zufallsvariable auf {1, ..., N} gleich verteilt ist, und möchte den unbekannten Parameter N schätzen. Die Bezeichnung kommt von der Vorstellung, dass man am Bahnhof Taxinummern beobachtet. Die beobachteten Nummern bilden eine Stichprobe, N steht für die Gesamtzahl der Taxis.

Ist x = (x_1, ..., x_n) eine gleich verteilte Stichprobe aus {1, ..., N}, dann ist der Maximum-Likelihood-Schätzer T_M(x) = max_{i=1,...,n} x_i. Dieser Schätzer ist nicht erwartungstreu, weil er den wahren Wert tendenziell unterschätzt und nie überschätzt; er ist nur asymptotisch erwartungstreu.

Mit einem Korrekturterm erhält man T'M(x) = ((n+1)/n) * max{i=1,...,n} x_i. Weitere Schätzer sind T_I(x) = max_{i=1,...,n} x_i + min_{i=1,...,n} x_i - 1 und T_S(x) = (2/n * Summe von i = 1 bis n über x_i) - 1. T_I und T_S sind erwartungstreu. Das Taxiproblem zeigt, dass es für dasselbe Schätzproblem mehrere Schätzer geben kann, ohne dass von vornherein klar ist, welcher besser ist.

Beziehungen und Beispiel

Mehrere bekannte Verteilungen sind Spezialfälle der diskreten Gleichverteilung. Die Bernoulli-Verteilung mit p = q = 1/2 ist eine diskrete Gleichverteilung auf {0,1}. Die Beta-Binomialverteilung mit a = b = 1 ist eine diskrete Gleichverteilung auf {0, ..., n}. Die Zweipunktverteilung ist für p = q = 1/2 eine diskrete Gleichverteilung auf {a,b}. Die Rademacher-Verteilung ist eine diskrete Gleichverteilung auf {-1,1}.

Die diskrete Gleichverteilung bildet auch die Grundlage des Urnenmodells, weil dort das Ziehen jeder Kugel gleich wahrscheinlich sein soll. Je nachdem, ob Kugeln gefärbt, nummeriert oder zurückgelegt werden, entstehen daraus weitere wichtige Verteilungen, zum Beispiel Binomialverteilung, geometrische Verteilung, hypergeometrische Verteilung, negative Binomialverteilung und Multinomialverteilung. Auf reelle Intervalle oder messbare Mengen mit positivem Volumen verallgemeinert heißt sie stetige Gleichverteilung. Davon zu unterscheiden ist die stetige Laplace-Verteilung, mit der die diskrete Gleichverteilung trotz der Bezeichnung Laplace-Würfel nichts zu tun hat.

Beim einmaligen Wurf eines sechsseitigen Laplace-Würfels sind die möglichen Werte x_1 = 1, x_2 = 2, ..., x_6 = 6. Jede Augenzahl hat die Wahrscheinlichkeit 1/6. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist P(X = x) = 1/6 für x = x_i mit i = 1, ..., 6, und 0 sonst. Der Erwartungswert ist E(X) = 7/2 = 3,5, die Varianz ist Var(X) = 35/12 ≈ 2,92.