Negative Binomialverteilung – einfach erklärt

Definition und Bedeutung

Die negative Binomialverteilung, auch Pascal-Verteilung, ist eine univariate diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und eine der drei Panjer-Verteilungen. Sie beschreibt in einem Bernoulli-Prozess die Wahrscheinlichkeit, dass nach einer bestimmten Zahl von Misserfolgen genau r Erfolge eingetreten sind. In der Versicherungsmathematik gehört sie neben der Poisson-Verteilung zu den wichtigsten Schadenzahlverteilungen, besonders in der Krankenversicherung und seltener in der Kraftfahrzeug-Haftpflicht- oder Kaskoversicherung.

Die Parameter sind r > 0 als Anzahl der Erfolge bis zum Abbruch und p ∈ (0,1) als Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs. Für die übliche diskrete Verteilung gilt k ∈ {0, 1, 2, 3, …} als Anzahl der Misserfolge. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet P(X=k) = {k+r-1 choose k} · p^r · (1-p)^k.

Die Verteilungsfunktion kann mit der regularisierten unvollständigen Betafunktion angegeben werden: F(k) = 1 - I_{1-p}(k+1, r).

Herleitung und zwei Varianten

Zur Herleitung dient ein Urnenmodell mit Zurücklegen. Die Urne enthält zwei Sorten Kugeln; der Anteil der Kugeln erster Sorte beträgt p. Es wird so lange gezogen, bis erstmals genau r Kugeln erster Sorte, also r Erfolge, gezogen wurden.

Variante A betrachtet die Gesamtzahl X der Versuche bis zum r-ten Erfolg. Dann gilt X ∈ {n ∈ N | n ≥ r}. Damit der r-te Erfolg beim n-ten Versuch eintritt, müssen in den ersten n−1 Versuchen genau r−1 Erfolge vorkommen und der n-te Versuch erfolgreich sein. Mit der Binomialverteilung ergibt sich P(X=n) = {n-1 choose r-1} · p^r · (1-p)^(n-r).

Die alternative Darstellung, Variante B, zählt dagegen nur die Misserfolge bis zum r-ten Erfolg. Für k = 0,1,2,… gilt mit q = 1-p: P(X=k) = {k+r-1 choose k} · p^r · (1-p)^k = {k+r-1 choose k} · p^r · q^k = {-r choose k} · p^r · (-q)^k.

Beide Varianten hängen durch X_A = X + r zusammen. Variante A zählt Erfolge und Misserfolge, Variante B nur die Misserfolge; die r Erfolge werden dort nicht mitgezählt.

Erwartungswert und weitere Eigenschaften

Für Variante A beträgt der Erwartungswert E(X) = r/p. Für Variante B ist er um r kleiner: E(X) = r/p − r = r(1-p)/p.

Die Varianz ist in beiden Varianten gleich: Var(X) = r(1-p)/p². Bei Variante B ist sie immer größer als der Erwartungswert; diese Eigenschaft heißt Überdispersion.

Die Variationskoeffizienten sind VarK(X) = √((1-p)/r) für Variante A und VarK(X) = 1/√(r(1-p)) für Variante B. Die Schiefe lautet für beide Varianten (2-p)/√(r(1-p)). Der Exzess, also die um 3 verringerte Wölbung, ist 6/r + p²/[r(1-p)]. Die Wölbung beträgt daher 6/r + p²/[r(1-p)] + 3. Der Modus der Variante B ist floor((1-p)(r-1)/p).

Für Variante A lautet die charakteristische Funktion φ_X(s) = (p e^{is}/[1-(1-p)e^{is}])^r; für Variante B lautet sie φ_X(s) = (p/[1-(1-p)e^{is}])^r. Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist in Variante A (ps/[1-(1-p)s])^r mit 0 < s < 1/(1-p), in Variante B (p/[1-(1-p)s])^r. Die momenterzeugende Funktion lautet in Variante A (p e^s/[1-(1-p)e^s])^r mit s < |ln(1-p)| und in Variante B (p/[1-(1-p)e^s])^r.

Beziehungen und Verallgemeinerung

Die negative Binomialverteilung ist das Gegenstück zur Binomialverteilung: Bei der Binomialverteilung ist die Zahl n der Versuche fest und die Zahl X der Erfolge zufällig. Bei der negativen Binomialverteilung ist die Zahl x der Erfolge fest und die Zahl N der dafür erforderlichen Versuche zufällig.

Für r = 1 geht die negative Binomialverteilung in die geometrische Verteilung über. Umgekehrt ist die Summe X = Σ_{i=1}^r X_i unabhängiger geometrisch verteilter Zufallsgrößen mit demselben Parameter p negativ-binomialverteilt NB(r,p). Für große r ist diese Summe annähernd normalverteilt. Die Variante B entsteht außerdem aus einer zusammengesetzten Poisson-Verteilung, wenn diese mit der logarithmischen Verteilung kombiniert wird. Dabei gelten p_log = 1-p_neg und r = −λ/ln(1-p_log).

Die Herleitung über das Urnenmodell setzt r ∈ N voraus. Für r ∈ R⁺ wird die Verteilung als Poisson-Gamma-Mischverteilung verallgemeinert: Die Intensität λ einer Poisson-Verteilung P(k|λ) ist gamma-verteilt mit den Parametern r und p/(1-p). Die resultierende Poisson-Gamma-Verteilung besitzt die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(k|r,p) = Γ(r+k)/(k! Γ(r)) · (1-p)^k p^r. Für r ∈ N stimmt sie mit der negativen Binomialverteilung überein. Die Gamma-Funktionen können durch verallgemeinerte Binomialkoeffizienten ersetzt werden. Die Konstruktion entspricht Variante B; ihre Charakteristika bleiben gültig, und für reelles r > 0 ist die Verteilung unendlich teilbar.

Summen und Beispiel

Sind X₁ und X₂ unabhängig negativ binomialverteilt mit Parametern r₁,p beziehungsweise r₂,p, dann ist ihre Summe wieder negativ binomialverteilt: NB(r₁,p) * NB(r₂,p) = NB(r₁+r₂,p). Die Verteilung ist damit reproduktiv und bildet eine Faltungshalbgruppe.

Im Beispiel gewinnt die Studentin Paula bei jedem fünften Skatspiel, also mit p = 0,2. Sie möchte nach dem zehnten Gewinn aufhören; ein Spiel dauert ungefähr 4 Minuten. Die Wahrscheinlichkeit, den zehnten Gewinn genau im 30. Spiel zu erzielen, erfordert zunächst neun Gewinne in den ersten 29 Spielen: P(Y=9) = {29 choose 9} · 0,2^9 · 0,8^20 = 0,0591. Daher gilt P(X=30) = 0,0591 · 0,2 = 0,0118.

Für die Frage, ob Paula spätestens nach 30 Spielen fertig ist, muss die Verteilungsfunktion verwendet werden, also die Summe P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=30). Nach der im Artikel beschriebenen Grafik benötigt sie für eine Wahrscheinlichkeit von 50 % höchstens ungefähr 50 Spiele, entsprechend 50 · 4 min = 200 min = 3 h 20 min. Für eine Wahrscheinlichkeit von 80 % sind höchstens ungefähr 70 Spiele nötig, also knapp 5 Stunden.