Uneigentliches Integral

Grundidee und Arten

Ein uneigentliches Integral erweitert den Integralbegriff auf Funktionen, die im eigentlichen Sinn nicht integrierbar sind. Gründe dafür sind entweder ein unbeschränkter Integrationsbereich, etwa von −∞ bis ∞, oder eine Singularität am Rand des Definitionsbereichs. Eine Singularität ist hier eine Stelle, an der die Funktion nicht regulär definiert oder nicht beschränkt ist.

Uneigentliche Integrale erster Art behandeln unbeschränkte Integrationsbereiche. Uneigentliche Integrale zweiter Art behandeln Funktionen mit einer Singularität an einer Grenze. Ein Integral kann an der einen Grenze uneigentlich erster und an der anderen Grenze uneigentlich zweiter Art sein. Für die Definition ist diese Einteilung jedoch nicht entscheidend.

Definition über Grenzwerte

Sei −∞ < a < b ≤ ∞ und f: [a,b[ → ℝ eine Funktion, die über jedem abgeschlossenen Teilintervall [a,β] ⊂ [a,b[ integrierbar ist. Dann wird das uneigentliche Integral im Fall der Konvergenz definiert durch

∫ₐᵇ f(x) dx := lim_{β ↗ b} ∫ₐ^β f(x) dx.

Analog verfährt man für −∞ ≤ a < b < ∞ und eine Funktion f: ]a,b] → ℝ, indem man die untere Grenze gegen a streben lässt. Existiert der entsprechende Grenzwert nicht, heißt das Integral divergent. Das eigentliche Integral wird also durch Integrale über beschränkte Teilintervalle und einen anschließenden Grenzwert ersetzt.

Zwei kritische Grenzen

Für −∞ ≤ a < b ≤ ∞ und f: ]a,b[ → ℝ wählt man eine beliebige Zahl c mit a < c < b und zerlegt das Integral:

∫ₐᵇ f(x) dx := ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫ᶜᵇ f(x) dx.

Ausgeschrieben lautet die Definition:

∫ₐᵇ f(x) dx := lim_{α ↘ a} ∫αᶜ f(x) dx + lim{β ↗ b} ∫ᶜ_β f(x) dx.

Beide Teilintegrale müssen als uneigentliche Integrale mit jeweils einer kritischen Grenze konvergieren. Sowohl die Konvergenz als auch der Wert des Integrals hängen nicht von der Wahl von c ab.

Typische Rechnungen und Beispiele

Ist eine Stammfunktion bekannt, kann man zunächst wie beim eigentlichen Integral eine benachbarte Grenze einsetzen und anschließend den Grenzwert bilden.

Bei

∫₀¹ 1/√x dx

liegt bei x = 0 eine Singularität vor. Als uneigentliches Riemann-Integral zweiter Art gilt:

lim_{α ↘ 0} ∫α¹ 1/√x dx = lim{α ↘ 0} [2√1 − 2√α] = 2.

Das Integral ist daher trotz der Singularität endlich.

Das Integral

∫₁^∞ 1/x² dx

ist wegen des unbeschränkten Definitionsbereichs ein uneigentliches Integral erster Art. Es ergibt:

lim_{β → ∞} ∫₁^β 1/x² dx = lim_{β → ∞} [−1/β + 1/1] = 1.

Ein weiteres Beispiel ist das Gaußsche Fehlerintegral:

∫_{−∞}^∞ e^(−x²/2) dx = √(2π).

Es ist ein uneigentliches Riemann-Integral erster Art; im Sinn der lebesgueschen Integrationstheorie existiert es auch als eigentliches Integral.

Anwendung und Beziehung der Integralbegriffe

In der Physik kann ein uneigentliches Integral zur Berechnung der Fluchtgeschwindigkeit verwendet werden. Für zwei Massekörper mit den Massen m₁ und m₂ lautet die Gravitationskraft in Abhängigkeit vom Abstand r:

F(r) = γ · (m₁m₂/r²).

Die Energie, die benötigt wird, um sich von der Oberfläche mit dem Abstand R₀ bis zum Abstand R zu entfernen, ist

E(R) = ∫_{r=R₀}^R γ · (m₁m₂/r²) dr = γ · m₁ · m₂ · [1/R₀ − 1/R].

Für R → ∞ erhält man

E(R) = γ · m₁m₂ ∫_{r=R₀}^∞ dr/r² = γ · (m₁m₂/R₀).

Durch Gleichsetzen mit der kinetischen Energie folgt:

½m₁v² = γ · (m₁m₂/R₀) ⇒ v = √(2 · γ · m₂/R₀).

Die Fluchtgeschwindigkeit hängt damit nicht von der Masse m₁ des fliehenden Körpers ab, sondern von R₀, der Planetenmasse m₂ und der Gravitationskonstante γ.

Zur Beziehung zwischen den Integralbegriffen gilt: Jede Riemann-integrierbare Funktion ist auch Lebesgue-integrierbar; entsprechend ist jede uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion auch uneigentlich Lebesgue-integrierbar. Es gibt jedoch Funktionen, die uneigentlich Riemann-integrierbar, aber nicht Lebesgue-integrierbar sind, etwa ∫₁^∞ sin(x)/x dx. Außerdem gibt es Funktionen, die Lebesgue-integrierbar, aber weder eigentlich noch uneigentlich Riemann-integrierbar sind, beispielsweise die Dirichlet-Funktion auf einem beschränkten Intervall.