Fluchtgeschwindigkeit (Raumfahrt)

Grundidee und Bedeutung

Die Fluchtgeschwindigkeit, auch Entweichgeschwindigkeit genannt, ist die Mindestgeschwindigkeit, mit der ein Probekörper dem Gravitationspotential eines Himmelskörpers ohne weiteren Antrieb entkommen kann. Der Körper bewegt sich dann ballistisch, also nur noch unter dem Einfluss der Gravitation. Seine kinetische Energie reicht genau aus, um die Bindungsenergie im Gravitationsfeld zu überwinden.

Tabellenwerte beziehen sich meist auf die Oberfläche eines Himmelskörpers. Dabei werden Luftreibung, der Geschwindigkeitsbeitrag durch die Rotation des Himmelskörpers und Beiträge anderer Körper zum Gravitationspotential oft nicht mitgerechnet. Für reale Raumflüge müssen diese Einflüsse aber beachtet werden. In einer vereinfachten Betrachtung hängt die Fluchtgeschwindigkeit eines kugelsymmetrischen Himmelskörpers nach dem Schalentheorem nur von seiner Masse und seinem Radius ab.

Die Fluchtgeschwindigkeit von der Erde heißt zweite kosmische Geschwindigkeit. Die erste kosmische Geschwindigkeit ist die Kreisbahngeschwindigkeit für einen niedrigen Orbit um die Erde.

Kreisbahn und erste kosmische Geschwindigkeit

Die Kreisbahngeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der ein Körper auf einer Kreisbahn um das Zentrum der Erde oder eines anderen Himmelskörpers bleibt. Bei horizontalem Abschuss fällt ein Körper auf die Erdoberfläche zurück, wenn die nötige Geschwindigkeit nicht erreicht wird. Mit der ersten kosmischen Geschwindigkeit beschreibt er eine Kreisbahn und wird zum Satelliten. Bei etwas höherer Geschwindigkeit entsteht eine elliptische Umlaufbahn.

Für einen Körper auf einer Kreisbahn mit Radius r und Geschwindigkeit v beträgt die Zentripetalbeschleunigung v²/r. Im freien Fall wird sie durch die Gravitation verursacht:

v²/r = GM/r²

Dabei ist G die Gravitationskonstante und M die Masse des Planeten. Daraus folgt für die Kreisbahngeschwindigkeit:

v = √(GM/r)

Für die Erde gilt GM⊕ = 3,986·10^14 m³/s² und der mittlere Radius beträgt 6371 km. Daraus ergibt sich die erste kosmische Geschwindigkeit v1 = 7,91 km/s. Dieser Wert hat an der Erdoberfläche keine praktische Bedeutung, weil ein Flugkörper in der Atmosphäre durch Luftwiderstand stark abgebremst und durch die entstehende Hitze zerstört würde.

In etwa 180 km Höhe, also etwa an der Grenze der Erdatmosphäre, beträgt die Kreisbahngeschwindigkeit ungefähr 7,8 km/s, also 28.080 km/h. Beim Raketenstart spielt außerdem die lokale Rotationsgeschwindigkeit der Erde eine Rolle. Bei einem Start am Äquator nach Osten liefert die Erdrotation maximal etwa 0,46 km/s und verringert dadurch die von der Rakete aufzubringende Geschwindigkeit.

Berechnung der Fluchtgeschwindigkeit

Die Fluchtgeschwindigkeit ist die Mindestgeschwindigkeit für eine offene, nicht zurückkehrende Bahn. Dann ist die kinetische Energie eines Probekörpers gleich seiner Bindungsenergie im Gravitationsfeld:

1/2 mv2² = GM⊕m/r

Nach v2 umgestellt ergibt sich:

v2 = √(2GM/r)

Die Fluchtgeschwindigkeit ist also um den Faktor √2 größer als die erste kosmische Geschwindigkeit. Für Himmelskörper mit konstanter mittlerer Dichte ρ und Radius r wächst die Masse M mit r³; deshalb wächst v2 dann linear mit r.

Eine alternative Berechnung nutzt die Oberflächengravitationsbeschleunigung g und den Radius r des Objekts, ohne die Rotationsgeschwindigkeit zu berücksichtigen:

v2 = √(2gr)

Für die Erde beträgt die zweite kosmische Geschwindigkeit 11,2 km/s. In diesem Wert ist die Rotationsgeschwindigkeit der Erde nicht berücksichtigt. Für Flugbahnen zum Mond muss die volle Fluchtgeschwindigkeit nicht erreicht werden, weil der Lagrange-Punkt L1 zwischen Erde und Mond nicht bei r = ∞ liegt.

Aus der Geschwindigkeit, mit der ein Körper ohne nennenswerten eigenen Antrieb die Erde erreicht, kann man umgekehrt auf die Entfernung schließen, aus der er in Richtung Erde beschleunigt wurde. Bei den Apollo-Missionen betrug die Geschwindigkeit beim Wiedereintritt 10,8 km/s. Ein Wert größer oder gleich 11,2 km/s wäre in diesem Fall nicht möglich gewesen, weil die Raumkapsel sonst aus einer viel größeren Entfernung, nämlich r = ∞, hätte „Anlauf“ nehmen müssen.

Ähnlich lässt sich die Herkunft von Kometen oder Meteoriten eingrenzen. Die Fluchtgeschwindigkeit von der Sonne auf der Erdbahn beträgt etwa 42 km/s. Mit dieser Geschwindigkeit kreuzen Kometen vom Rand des Sonnensystems die Erdbahn. Eine höhere Geschwindigkeit deutet auf einen interstellaren Ursprung hin.

Typische Werte

Die Fluchtgeschwindigkeit unterscheidet sich stark zwischen Himmelskörpern. An der Oberfläche beträgt sie am Äquator für Merkur 4,3 km/s, für Venus 10,4 km/s, für die Erde 11,2 km/s, für den Mond 2,3 km/s und für Mars 5,0 km/s. Kleine Marsmonde haben sehr geringe Werte: Phobos 0,011 km/s und Deimos 0,006 km/s. Für Ceres werden 0,5 km/s angegeben.

Bei großen Planeten liegen die Werte deutlich höher: Jupiter 60,2 km/s, Saturn 36,1 km/s, Uranus 21,4 km/s und Neptun 23,6 km/s. Pluto hat 1,2 km/s. Für die Sonne beträgt die Fluchtgeschwindigkeit an der Oberfläche 617,4 km/s; im Erdabstand beträgt sie 42,1 km/s. Am Ereignishorizont eines Schwarzen Loches entspricht die Fluchtgeschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit.

Bahnformen und geometrische Deutung

Die Fluchtgeschwindigkeit lässt sich auch über die Form der Bahn verstehen. Wenn ein Flugkörper auf einer Kreisbahn um einen Planeten einen Geschwindigkeitsschub in Flugrichtung erhält, wird seine Bahn zu einer Ellipse. Wird die Geschwindigkeit weiter erhöht, nimmt die Exzentrizität der Ellipse zu. Die Exzentrizität beschreibt hier, wie stark die Bahn von einer Kreisform abweicht.

Bei der zweiten kosmischen Geschwindigkeit liegt der ferne Brennpunkt der Ellipse unendlich weit entfernt. Die geschlossene Bahn öffnet sich zu einer Parabelbahn. Der Körper ist dann nicht mehr auf einer zurückkehrenden Umlaufbahn. Während er sich vom Planeten entfernt, wird er durch dessen Gravitation weiter abgebremst und kommt erst in unendlicher Entfernung zum Stillstand.

Wird die zweite kosmische Geschwindigkeit überschritten, entsteht eine Hyperbelbahn. Dann bleibt auch in unendlicher Entfernung noch eine Restgeschwindigkeit übrig. Diese heißt hyperbolische Exzessgeschwindigkeit oder hyperbolische Überschussgeschwindigkeit. Sie charakterisiert die Energie der Hyperbelbahn. Häufig wird auch das Quadrat der Geschwindigkeit angegeben, also Energie pro Masse, mit dem Formelzeichen c3.

Schwarze Löcher und weitere Fluchtgeschwindigkeiten

Bei einem Schwarzen Loch wird die radiale Fluchtgeschwindigkeit in der allgemeinen Relativitätstheorie formal wie nach Newton berechnet, ist aber richtungsabhängig. Die Kreisbahngeschwindigkeit ist höher als nach Newton, und zwar um den Faktor 1/√(1 − rs/r), mit rs = 2GM/c². Erst bei wachsendem Abstand vom Schwerpunkt nähert sich das Verhältnis von Flucht- und Kreisbahngeschwindigkeit dem Wert √2. Der Grund ist, dass der Raum im Gravitationsfeld nicht euklidisch ist und der Umfang eines Kreises weniger als 2πr beträgt.

Die Fluchtgeschwindigkeit erreicht erst am Ereignishorizont eines Schwarzen Loches, bei r = rs, die Lichtgeschwindigkeit c. Die Kreisbahngeschwindigkeit ist dagegen schon bei r = 1,5rs, an der sogenannten Photonensphäre, gleich c und bis 2rs größer als die radiale Fluchtgeschwindigkeit.

Als dritte kosmische Geschwindigkeit v3 gilt die minimale Startgeschwindigkeit von der Erdoberfläche, mit der ein Flugkörper das Sonnensystem verlassen kann. Dabei wird die Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne genutzt, nicht aber ihre Eigenrotation und keine Swing-by-Manöver an Planeten. Nach dem Start mit v3 > v2(⊕) = 11,2 km/s bleibt nach Verlassen der Einflusssphäre der Erde die hyperbolische Exzessgeschwindigkeit vex. Sie muss zusammen mit der Bahngeschwindigkeit der Erde vBahn die Fluchtgeschwindigkeit von der Sonne im Abstand der Erdbahn ergeben:

vex = v2(⊙) − vBahn = 42,1 km/s − 29,8 km/s = 12,3 km/s

Daraus folgt:

v3 = √(vex² + v2(⊕)²) = √((12,3 km/s)² + (11,2 km/s)²) = 16,6 km/s

Die Masse des Mondes und anderer Planeten wird dabei vernachlässigt; das Ergebnis würde sich kaum ändern. Für die Fluchtgeschwindigkeit aus der Milchstraße reicht ein einfaches Zentralfeld-Modell nicht aus, weil ein großer Teil der Masse außerhalb der Sonnenbahn um das galaktische Zentrum liegt. Eine numerische Berechnung mit einem Modell der Dunklen Materie ergibt vesc = 533−41+54 km/s. Das ist deutlich mehr als das √2-Fache der Bahngeschwindigkeit der Sonne von rund 220 km/s.