Gravitationsfeld

Grundidee des Gravitationsfeldes

Ein Gravitationsfeld, auch Schwerkraftfeld genannt, ist in der klassischen Mechanik ein Kraftfeld, das durch die Gravitation von Massen entsteht. Es beschreibt für jeden Ort, welche Gravitationsbeschleunigung dort auf einen Körper wirken würde. Diese Beschleunigung wird als Vektor g angegeben und heißt auch Feldstärke des Gravitationsfeldes.

Die Feldstärke kann mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz aus der räumlichen Verteilung der Massen berechnet werden. Wichtig ist die Unterscheidung zwischen Gravitationsfeld und Schwerefeld: In rotierenden Bezugssystemen, zum Beispiel in einem mit der Erde verbundenen Bezugssystem, enthält das Schwerefeld zusätzlich die Zentrifugalbeschleunigung. Das Gravitationsfeld beschreibt dagegen nur den durch Gravitation verursachten Anteil.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird Gravitation nicht mehr als Kraftfeld beschrieben. Die Einsteinschen Feldgleichungen deuten sie als Krümmung der Raumzeit. Zur Veranschaulichung kann ein Potentialtrichter dienen: Kugeln oder Münzen rollen auf einer trichterförmigen Fläche und können Umlaufbahnen um die Trichterachse simulieren. Die abfallende Trichterwand zerlegt die wirkende Kraft in eine horizontale und eine vertikale Komponente. Reicht die geschwindigkeitsabhängige Zentrifugalkraft nicht mehr aus, rollen die Körper zur Mitte hin.

Potential und Zusammenhang mit Kraft

Zum Gravitationsfeld gehört das Gravitationspotential Φ(r). Ein Potential ist eine Größe, aus der sich die Feldstärke und damit die Kraft ableiten lässt. Ist die Massendichte ρ(r) bekannt, kann das Gravitationspotential durch die Poisson-Gleichung bestimmt werden:

ΔΦ(r) = 4πGρ(r).

Dabei ist G die Gravitationskonstante und Δ der Laplace-Operator. Für einen näherungsweise punktförmigen oder radialsymmetrischen Körper der Masse M lautet das Potential:

Φ(r) = -GM/r (+ Φ∞).

Φ∞ ist das Potential im Unendlichen. Es ist eine frei wählbare Integrationskonstante und wird üblicherweise auf Null gesetzt. Abweichend vom Schwerepotential wird das Gravitationspotential also meist im Unendlichen auf null festgelegt.

Multipliziert man das Potential mit der Masse m eines Körpers, erhält man seine potentielle Energie:

V(r) = m Φ(r).

Das Gravitationsfeld g ist das negative Gradientenfeld des Potentials:

g(r) = -∇Φ(r).

Der Gradient beschreibt, in welcher Richtung und wie stark sich das Potential räumlich ändert. Die vom Feld erzeugte Gravitationskraft auf einen Körper der Masse m ist:

FG(r) = m g(r).

Feldstärke und Punktmassen

Die Gravitationsfeldstärke gibt direkt die Gravitationsbeschleunigung g an. Sie ist unabhängig von der Probemasse, also unabhängig von der Masse des Körpers, der sich im Feld befindet. Wenn keine weiteren Kräfte wirken, ist g genau die Beschleunigung dieser Probemasse.

Eine Punktmasse M erzeugt das Potential:

Φ(r) = -GM/r.

Daraus folgt ein radialsymmetrisches Feld mit der Feldstärke:

g(r) = -GM/r² · êr.

Der Einheitsvektor êr zeigt in radialer Richtung. Das Minuszeichen bedeutet, dass die Gravitationskraft anziehend wirkt. Die Formel ähnelt formal der elektrischen Feldstärke bei einer Punktladung: In beiden Fällen nimmt der Betrag der Feldstärke quadratisch mit dem Abstand ab. Bei der Gravitation steht jedoch das Minuszeichen für die stets anziehende Wirkung, während elektrostatische Kräfte zwischen gleichnamigen Ladungen abstoßend sein können.

Die Formel gilt auch für kugelsymmetrische Körper, wenn der Abstand r vom Mittelpunkt größer ist als ihr Radius. Für beliebig geformte Körper gilt sie näherungsweise, wenn r um Größenordnungen größer ist als die Ausdehnung des Körpers. Befindet sich eine Probemasse m in diesem Feld, ergibt sich:

FG = m g(r) = m GM/r².

Das entspricht dem Newtonschen Gravitationsgesetz für den Betrag der anziehenden Kraft zwischen den Massenschwerpunkten von M und m im Abstand r.

Ausgedehnte Massenverteilungen

Auch das Gravitationsfeld eines ausgedehnten Körpers kann berechnet werden, indem man ihn in viele annähernd punktförmige Teilmassen zerlegt. Das Gesamtfeld ist dann die Summe der Beiträge aller Punktmassen:

g(r) = -G Σi mi (r - ri)/|r - ri|³.

Dabei sind ri die Orte der Punktmassen mi. Diese Darstellung zeigt, dass jede Teilmasse zum Feld am betrachteten Ort beiträgt und dass Richtung und Abstand jeweils berücksichtigt werden müssen.

Für kontinuierliche Masseverteilungen verwendet man statt einer Summe ein Integral. Dann gilt:

g(r) = -G ∫ ρ(r') (r - r')/|r - r'|³ d³r'.

Hier ist ρ(r) die Massendichteverteilung. Die Massendichte gibt an, wie viel Masse sich in einem Raumbereich befindet. Mit dieser Formel kann man das Gravitationsfeld berechnen, wenn die Masse nicht aus einzelnen Punktmassen besteht, sondern räumlich verteilt ist.

Gravitative Bindungsenergie

Die gravitative Bindungsenergie ist die Energiemenge, die nötig ist, um einen durch Gravitation zusammengehaltenen Körper, zum Beispiel die Erde, in seine Bestandteile zu zerlegen und diese unendlich weit voneinander zu entfernen. Umgekehrt wird die gleiche Energiemenge frei, wenn sich Bestandteile durch Gravitation zu einem kompakteren Himmelskörper zusammenfügen, etwa beim Kollaps einer Gaswolke zu einem Stern oder Planeten.

Für eine homogene Kugel kann die Bindungsenergie klassisch berechnet werden, indem man sich vorstellt, die Kugel werde Schicht für Schicht aufgebaut. Hat die Kugel den Radius r, dann hat sie das Volumen V(r) = 4πr³/3 und bei konstanter Dichte ρ die Masse:

M(r) = ρV(r) = 4πρr³/3.

Im Außenraum r' > r erzeugt sie das Potential:

Φr(r') = -G M(r)/r'.

Eine weitere Schicht der Dicke dr besitzt die Masse:

dm = ρA(r)dr = 4πρr²dr.

Beim Anfügen dieser Schicht wird Energie frei. Integriert man über alle Schichten bis zum Radius R und zur Gesamtmasse M = M(R), erhält man für eine homogene Kugel:

E = 3GM²/(5R).

Eine homogene Kugel mit Masse und Radius der Erde hätte nach dieser Formel eine gravitative Bindungsenergie von etwa 2,24 · 10^32 J. Die Erde ist aber keine Kugel homogener Dichte: Der Erdkern hat eine fast doppelt so hohe Dichte wie der Erdmantel. Aus der Dichteverteilung nach dem „Preliminary Reference Earth Model“ (PREM) ergibt sich deshalb eine etwas größere Bindungsenergie der Erde von 2,489 · 10^32 J.

Bindungsenergie in der Relativitätstheorie

Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Bindungsenergie im Gravitationspotential mithilfe des Shapirofaktors σ beschrieben. Er lautet:

σ = √(1 - rs/r) = √(1 - 2MG/(c²r)).

Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit. Aus der Ruheenergie m im Nullpotential ergibt sich die Bindungsenergie:

EB = c²m - c²M = (1 - σ)c²m.

Für eine Hohlkugel mit Radius r kann die Eigenbindungsenergie aus der gemessenen Masse M berechnet werden:

EB = c²m - c²M = c²M(1/√(1 - 2GM/(c²r)) - 1).

Diese Darstellung zeigt den Unterschied zur klassischen Rechnung: In der Allgemeinen Relativitätstheorie hängt die Beschreibung nicht nur von einer Kraft zwischen Massen ab, sondern von der relativistischen Behandlung des Gravitationspotentials und der zugehörigen Energie.