Definitionslücke

Grundidee und Definition

Eine Definitionslücke ist ein Begriff aus der Analysis. Eine Funktion hat eine Definitionslücke, wenn einzelne Punkte aus ihrem Definitionsbereich ausgeschlossen sind. Typisch ist das bei reellen, stetigen oder differenzierbaren Funktionen, zum Beispiel an Stellen, an denen man durch null teilen müsste. Solche Stellen treten häufig bei gebrochenrationalen Funktionen auf.

Formal wird eine Definitionslücke so beschrieben: Sei I = [a,b] ⊂ R ein Intervall, x₀ ∈ ]a,b[ ein Punkt aus dem Inneren des Intervalls und O eine Obermenge von I. Eine stetige Funktion f: O \ {x₀} → R, die überall auf O außer an der Stelle x₀ definiert ist, hat in x₀ eine Definitionslücke.

Definitionslücken können unterschiedlich sein. Manche lassen sich „reparieren“, indem man der Funktion an der fehlenden Stelle einen passenden Wert gibt. Andere lassen sich nicht stetig beheben, etwa wenn die Funktion dort gegen unendlich strebt oder stark oszilliert. Solche nicht hebbaren Lücken werden auch Singularitäten genannt; der Sprachgebrauch ist dabei nicht immer einheitlich, und manchmal werden Definitionslücke und Singularität als Synonyme verwendet.

Stetig hebbare Lücken

Eine Definitionslücke heißt stetig hebbar oder stetig behebbar, wenn die Funktion an der fehlenden Stelle so ergänzt werden kann, dass sie stetig wird. Sei x₀ eine Definitionslücke der stetigen Funktion f: I \ {x₀} → R. Gibt es eine stetige Funktion f̃: I → R mit f̃(x) = f(x) für alle x ∈ I \ {x₀}, dann ist f̃ eine stetige Fortsetzung von f. Dann nennt man f stetig ergänzbar oder stetig fortsetzbar.

Das entscheidende Kriterium ist der Grenzwert. Existiert

limₓ→ₓ₀ f(x) =: r,

dann ist x₀ eine stetig hebbare Definitionslücke. Die stetige Fortsetzung wird dann definiert durch

f̃(x) = f(x) für x ∈ I \ {x₀} und f̃(x) = r für x = x₀.

Die Idee ist also: Man untersucht, welchem Wert sich die Funktionswerte in der Nähe der Lücke annähern. Wenn von beiden Seiten derselbe endliche Grenzwert erreicht wird, setzt man genau diesen Wert an der Lücke ein.

Eigenschaften von Fortsetzungen

Wenn eine stetige Fortsetzung existiert, ist sie eindeutig. Der Grund ist, dass der Grenzwert eindeutig ist:

f̃(x₀) = limₓ→ₓ₀, x∈I f(x).

Daraus folgt das wichtige Kriterium: f ist genau dann in x₀ stetig fortsetzbar, wenn der Grenzwert limₓ→ₓ₀ f(x) existiert.

Zur Bestimmung eines solchen Grenzwerts können verschiedene Methoden verwendet werden. Wenn eine Funktion als Bruch u(x)/v(x) dargestellt werden kann und Zählerfunktion u sowie Nennerfunktion v an einer gemeinsamen Nullstelle x₀ differenzierbar sind, gilt die Regel von de L’Hospital:

limₓ→ₓ₀ u(x)/v(x) = limₓ→ₓ₀ u'(x)/v'(x).

Eine allgemeinere Methode ist der Einschnürungssatz. Er kann auch bei nicht stetigen Funktionen helfen.

Wichtig ist außerdem: Eine stetige Fortsetzung muss nicht differenzierbar sein. Die Betragsfunktion ist auf R \ {0} differenzierbar, kann aber auf null nicht differenzierbar fortgesetzt werden. Selbst wenn eine Fortsetzung glatt ist, muss sie nicht analytisch sein.

Im Komplexen gelten stärkere Aussagen. Bei komplexwertigen Funktionen, die in einer Umgebung einer Definitionslücke holomorph sind, spricht man von isolierten Singularitäten. Wegen der besonderen Eigenschaften holomorpher Funktionen ist dort eine stetige Fortsetzung bereits eine analytische Fortsetzung. Der Riemannsche Hebbarkeitssatz sagt, dass die Definitionslücke einer holomorphen Funktion hebbar ist, wenn die Funktion in einer passenden Umgebung der Lücke beschränkt ist. Für reelle Funktionen gibt es keine vergleichbare Aussage; dort könnte auch eine nicht hebbare Sprungstelle vorliegen.

Nicht hebbare Lücken

Neben stetig hebbaren Definitionslücken gibt es weitere Arten von Definitionslücken. Dazu gehören verschiedene Arten von Sprungstellen, Polstellen und wesentliche Singularitäten. Bei solchen Lücken kann die Funktion nicht stetig fortgesetzt werden.

Eine Polstelle liegt zum Beispiel vor, wenn die Funktionswerte in der Nähe der Lücke gegen unendlich wachsen. Eine Sprungstelle bedeutet, dass die Funktion sich der Lücke von verschiedenen Seiten mit unterschiedlichen Grenzwerten nähert. Eine wesentliche Singularität ist eine besonders starke Form problematischen Verhaltens, bei der keine stetige Ergänzung möglich ist.

Der zentrale Unterschied ist immer: Bei einer stetig hebbaren Definitionslücke existiert ein endlicher Grenzwert, der als Funktionswert eingesetzt werden kann. Bei nicht hebbaren Lücken fehlt ein solcher passender Grenzwert.

Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Quotient

f(x) = u(x)/v(x)

aus zwei ganzrationalen Funktionen u und v. Eine solche Funktion hat genau dann eine Definitionslücke, wenn die Funktion im Nenner eine Nullstelle hat. In dieser speziellen Funktionsklasse können Definitionslücken nur Polstellen oder stetig hebbare Definitionslücken sein.

Eine Definitionslücke kann nur dann stetig hebbar sein, wenn Zähler und Nenner an derselben Stelle x₀ eine Nullstelle haben. Für ganzrationale Funktionen lassen sich Nullstellen ausfaktorisieren. Wenn u(x) und v(x) an x₀ eine Nullstelle haben, gilt

u(x) = (x - x₀)ᴺᵘ · s(x)

und

v(x) = (x - x₀)ᴺᵛ · t(x),

wobei s(x₀) ≠ 0 und t(x₀) ≠ 0. Die natürlichen Zahlen Nᵤ und Nᵥ heißen Ordnung oder Vielfachheit der jeweiligen Nullstelle.

Gemeinsame Faktoren können für x ≠ x₀ gekürzt werden. Das gekürzte Ergebnis ist der einzige Kandidat für eine stetige Fortsetzung nach x₀. Es gelten drei Fälle:

• Wenn Nᵤ > Nᵥ > 0, liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor; der Grenzwert ist 0.
• Wenn Nᵤ = Nᵥ > 0, liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor; der Grenzwert ist s(x₀)/t(x₀).
• Wenn Nᵤ < Nᵥ, liegt eine Polstelle vor.

Beispiel: Die Funktion

f(x) = (x³ + 4x² + 5x + 2)/(x³ + x² - x - 1) = ((x + 1)²(x + 2))/((x + 1)²(x - 1))

hat bei x = -1 eine Lücke. Durch Kürzen von (x + 1)² erhält man

f̃(x) = (x + 2)/(x - 1),

die auch bei x = -1 stetig fortgesetzt ist. Bei x = +1 bleibt f̃ wie f undefiniert; dort liegt eine Polstelle vor.

Ein Gegenbeispiel ist

f(x) = (x - 1)/(x² - 2x + 1) = (x - 1)/(x - 1)².

Kürzt man mit (x - 1), erhält man f̃(x) = 1/(x - 1). Diese Funktion ist bei x = +1 weiterhin undefiniert. Die Lücke wurde also nicht behoben; es handelt sich um eine Polstelle und nicht um eine behebbare Definitionslücke.

Typische Beispiele

Die Funktion f(x) = 1/x ist auf ihrem Definitionsbereich D = R \ {0} stetig, hat aber bei 0 eine Definitionslücke. Diese Lücke ist eine Polstelle und nicht stetig hebbar.

Ein Beispiel für eine stetig hebbare Definitionslücke ist

f: R≥0 \ {1} → R, x ↦ (√x - 1)/(x - 1).

Bei x₀ = 1 ist die Funktion zunächst nicht definiert. Der Grenzwert ist aber

limₓ→1 (√x - 1)/(x - 1) = limₓ→1 (√x - 1)/((√x + 1)(√x - 1)) = limₓ→1 1/(√x + 1) = 1/2.

Deshalb kann man die Funktion bei x = 1 durch den Wert 1/2 ergänzen. Die Fortsetzung ist

f̃(x) = (√x - 1)/(x - 1) für x ≠ 1 und f̃(x) = 1/2 für x = 1.

In diesem Fall kann man die Fortsetzung sogar ohne Fallunterscheidung schreiben: f̃(x) = 1/(√x + 1) für alle x ≥ 0.

Es gibt aber auch Fälle, in denen eine Fallunterscheidung notwendig bleibt. Für

g: R \ {0} → R, x ↦ x · sin(1/x)

ist die stetige Fortsetzung

g̃(x) = x · sin(1/x) für x ≠ 0 und g̃(x) = 0 für x = 0.

Hier wird die Lücke bei 0 durch den Wert 0 geschlossen.