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Uneigentliche INTEGRALE berechnen – e Funktion gegen unendlich, Definitionslücke, 1. und 2. Art
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 72 Zeilen
- hallo liebe in dem heutigen video möchte ich zusammen mit euch uneigentlich integrale berechnen worum geht es dabei überhaupt wir wollen
- schon integrale berechnen also es geht um flächenberechnung aber um spezielle denn wenn wir uns das integral hier mal anschauen beziehungsweise diese grenze
- hier anschauen dann läuft das integral von - und endlich bis 0 also wir bekommen jetzt keine normalen
- zahlen mehr als grenzen von minus drei bis null sondern wir laufen einfach komplett ins unendliche reihen also die fläche soll hier abwärts bis zu minus
- unendlich also diese ganze fläche die hier entsteht die noch so klein sein mag hier aber die frage ist ist diese fläche endlich also kommt da zum beispiel fünf
- raus als wert dass wir wissen der flächen inhalt von dieser fläche hier komplett ist 5 oder wächst die einfach immer weiter und die hat kein ähnliches
- maß und da kommt einfach unendlich dann raus also dass sie einfach immer weiter wächst das ist eben die frage und das klären
- wir hier in diesem video wie man diese integrale dann berechnet wir werden ganz normal auch integrieren hier bei diesen arten aber es wird noch ein schritt dazu
- kommen den wir machen müssen nämlich es geht dann um eine grenzwert betrachtung denn diese grenze hier dieses - endlich das will man so eigentlich nicht im
- integral stehen haben also mein integral will ich nicht hier unten ab - endlich starten sondern ich will ja schon ein buchstabe stehen haben denen der nicht
- einfach mal den kann jeder nehmen was er will sollten jetzt nicht integral hier vorkommen und dann machen wir eine grenzwert betrachtung vorne dran limes
- main a läuft gegen das wo es halt eben hinlaufen soll nämlich gegen - unendlich jetzt hier in diesem fall im integral bleibt alles wie es ist und dann wird
- das ding einfach glücklich ist dieses limes vorne dran das zieht man einfach bis zum schluss mit das wird erstmal nicht betrachtet das wird nur am schluss
- interessant so wann lösen wir dieses integral ganz normal wie wir es gewohnt sind mit stamm funktionen die ist hier jetzt sehr einfach rx hat wieder rx als
- stamm funktion und die grenzen sind von a bis 0 und auch jetzt geht's erst mal ganz normal weiter dieses limes muss man halt
- eben vorne dran immer wieder mit ziehen das nervt ein bisschen aber gut so ist es halt und jetzt werden die grenzen eingesetzt um integral wie wir es
- gewohnt sind zuerst die 00 ist 1 und dann ziehen wir die untere grenze ab hoch für die cigs setzen wir dieses 1 und dann steht der ihk also bis hierhin
- alles ganz normal und jetzt wird diese grenzwert betrachtung gemacht wir lassen jetzt dieses dagegen - unendlich laufen das
- hat ja auf dieses ab diese einst hier vorne überhaupt keine auswirkung und jetzt schauen wir was mit diesem hoch passiert also das läuft gegen -
- unendlich und e hoch - und endlich das läuft gegen null also ich glaube grenzwerte habt ihr auf jeden fall schon mal als ich das jetzt
- nicht mehr so viel sagt dann guckt euch das thema nochmal an hier ist es halt eine mischung aus integrieren und grenzwert und insgesamt
- haben wir dann eben 10 also und das ist jetzt der wert der fläche die da hier unter diesem grafen entsteht auch wenn wir bis ganz -
- unendlich laufen insgesamt hat diese fläche hier den wert von 1 also eine ein quadratmeter welche einheiten auch immer sind also eine
- flächeneinheit und das war's schon es gibt natürlich noch andere fälle die wir hier durchgehend wollen zum beispiel muss natürlich nicht die untere grenze
- gegen unendlich oder - unendlich laufen sondern es kann natürlich auch die obere grenze seien aber auch da geht man ganz genauso vor wie eben auch die null
- bleibt die obere grenze wird dann durch einen buchstaben er selbst der uns gefällt ich nehme jetzt hier einfach mal b und vorne dran kommt dann halt eben
- limes b gegen das was es halt mal war unendlich und der rest wird ganz normal so integriert wie man es kennt also ab hier macht man es dann wieder genauso
- wie dann kann es doch passieren dass beide grenzen unendlich heißen also - unendlich bis plus und endlich da wird man dann am besten des integral
- auseinander da ziehen schauen wir uns diese funktion mal ganz kurz an dies ist eins durch einsplus quadrat die sieht so aus und es
- geht jetzt hier um die fläche unter dieser kurve von - unendlich bis plus und endlich also komplett einmal über die x-achse drüber und die frage ist ob
- die endlich ist oder nicht und hier würde man jetzt das integral aufteilen einmal von - unendlich bis 0 zum beispiel und von null bis unendlich
- schauen wir uns das mal ganz kurz an - unendlich bis 0 dass man nämlich immer nur eine grenze hat die unendlich oder - unendlich heißt das wäre schon ganz gut
- dann hat man ein bisschen mehr überblick über das ganze das wäre das eine und das andere dann eben von null bis unendlich damit die lücke komplett geschlossen ist
- und dann kann man das einzeln integrieren also jetzt würde man so wie eben auch hier die eine grenze durch ersetzen und den limes schön vorne dran
- machen also dass - endlich ersetzen wir durch a also läuft gegen - und endlich und oben die grenze lassen wir uns hier hinten
- wie eben auch würden wir halt die obere grenze durch b ersetzen und vorne dran den limes schreiben ich glaube das prinzip habt ihr verstanden
- insgesamt müsste man dann wieder integrieren grenzen einsetzen und so weiter und so fort die stamm funktion von dem ding hier ist
- der akkus tangens und wenn man dann die grenzen alle einsetzt könnte einmal testen grenzen betrachtung machen und alles mögliche müsste dabei rauskommt
- als lösung hier ist es jetzt noch so ein spezialfall ganz kurz das ding ist ja oder die funktion ist er auch achsen
- symmetrisch von daher könnte man hier auch sagen ich integriere von der null bis ins unendliche und verdoppelt an den wert den ich herausbekomme weil beide
- seiten gleich sind also das ging ja auch noch es gibt meistens viele wege die man laufen kann aber auch dass hier führt uns
- tatsächlich zu einem eigentlichen integral warum die grenzen was ich eben gesagt habe da ist doch gar kein unendlich in den grenzen drin
- nee aber haben die null hier die darf ich ja gar nicht für die cigs einsetzen das ist eine definitions lücke 1 durch 0 darf ich gar nicht berechnen also auch
- das hier führt zu einem eigentlichen integral schauen wir uns das mal ganz kurz an 1 durch iks sieht so aus und wir wollen jetzt von null bis eins
- integrieren also von null bis eins wäre von da bis da das wäre diese fläche hier und da sehen wir schon guckt mal die wird immer größer oder ja da kommt immer
- noch was dazu aber das ist eine bestellung hier die null also da haut die funktion einfach gegen unendlich ab und da entsteht auch so eine offene
- fläche und wir wollen eben wissen hat sie einen wert also kommt da 10 raus ist es unendliche fläche oder wird die unendlich groß und das können wir eben
- auch mit der grenzwert betrachtung machen denn wir müssen uns halt eben angucken die null darf man gar nicht einsetzen ok
- dann gehen wir einfach so vor wie eben ich ersetze die 0 durch ein und lasse diesmal man eben gegen die null laufen so wie eben auch jetzt müssen wir nur
- ganz kurz gucken wenn wir da also die grenze gegen null laufen lassen dann ist es ja ein unterschied ob ich von der rechten seite an die null dran kommen
- weil da hat meine funktion dagegen unendlich ab oder ob ich von der linken seite an die neue rein kommen da wird ja nach unten abhauen gegen - endlich
- und deswegen ist es wichtig dass ihr schaut von wo ihr kommt wir müssen jetzt den grenzwert wenn wir von rechts uns an die 0 anschmiegen das heißt da würde man
- noch so im plus hin machen oder so ein kleines r dass wir jetzt den rechtzeitigen grenzwert uns anschauen unsere funktion bleibt ja unverändert da
- ändern wir gar nichts und jetzt gehts aber wie eben auch erstmal dass wir eine stamm funktion hiervon finden diesen limes lassen wir bis zum schluss erst
- nach unberührt stamm funktion von 1x ist ja allen betrag von iks und unsere grenzen sind von a bis 1 dann setzen wir die grenzen wieder ein
- also es ist schon vieles was man gewohnt ist aber so ein bisschen paar sachen sind auch neu ln von 1 1 gesetzt ist ja 0 - und jetzt kommt ein betrag von a
- so jetzt läuft unser a gegen null deswegen machen wir jetzt mal die grenzwert betrachtung dieses 0 - elena das können wir dann also falls ihr wollt
- und ist ein bisschen schöner auf schreiben wollt dann könnt ihr direkt nur noch - ln betrag von ah schreiben und jetzt die krankheit betrachtet man
- dagegen nur läuft von rechts aus dann ist der ln von der ln sieht ja so aus und hier wenn wir uns an die 0 anschmiegen dann wird der ln immer
- kleiner immer kleiner gegen - unendlich das heißt wir haben hier das - sowieso schon und der ln von 0 läuft gegen - und endlich dann haben wir insgesamt eben
- plus unendlich das heißt wir haben zum ersten mal eine fläche die immer grösser wird also kein ähnliches massaker und damit einfach die reagiert die fläche
- wird immer immer größer das kann passieren und jetzt möchte ich euch aber auch noch auf eine sache hinweisen es könnte auch sein dass ihr
- dieses einziges von -1 bis 1 integrieren soll und da müssen wir jetzt aufpassen dass wir uns das mal anschauen das wäre
- nämlich hier von -1 bis 1 und auch hier sehen wir wir haben hier ein mal hier unten sonne pohl also die null ist eine pol stähler und einmal links haus nach
- unten ab die fläche und rechts hatten wir gerade eben schon nach oben ab wir können dieses integral jetzt aufteilen wenn wir davon noch nichts berechnet
- haben und zwar von der -1 bis zu 0 über diese funktion und dann von der nächsten also von der null bis zur 1 wir dürfen nicht über
- diese pohl stellen einfach integrieren da müsst ihr die flächen ordentlich aufteilen und euch eben diese definition slogan angucken wo die sind dass ihr das
- auseinanderziehen könnt und dann integrieren auch hier wieder aufpassen dann dass man die null das sind die uneigentlich integrale eben
- durch diese limes ersetzt und dann ausrechnen genau das sind uneigentlich integrale also ihr seht da kann schon einiges auf
- euch zukommen vor allem je nachdem wie kompliziert dann die integrale an sich überhaupt noch sind also da kommt alles auf einen zu was bisher generell bei
- normalen integralen uns auch bei der grenzwert betrachtung dann auf einen zukommen aber ich hoffe dass er jetzt schon mal grob ist was da so auf euch
- zukommt uns dass wir diese aufgaben die jetzt hat schon mal damit lesen könnt falls ihr fragen habt meldet euch einfach in den kommentaren
Zum Nachlesen
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