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Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

In der Geometrie versteht man unter den ausgezeichneten Punkten (auch: merkwürdigen Punkten oder Zentren) eines Dreiecks in erster Linie die folgenden vier …

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Inhalt3 Abschnitte
  1. 1. Ausgezeichnete Punkte im Dreieck – Überblick
  2. 2. Weitere Punkte nach der Encyclopedia of Triangle Centers
  3. 3. Verwandte Themen

Ausgezeichnete Punkte im Dreieck – Überblick

In der Geometrie versteht man unter den ausgezeichneten Punkten (auch: merkwürdigen Punkten oder Zentren) eines Dreiecks vor allem die folgenden vier Punkte:

  • Höhenschnittpunkt H: Schnittpunkt der Höhen (Linien durch eine Ecke, senkrecht zur gegenüberliegenden Seite).
  • Umkreismittelpunkt U: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (auch Seitensymmetralen genannt).
  • Schwerpunkt S: Schnittpunkt der Seitenhalbierenden (auch Schwerlinien genannt).
  • Inkreismittelpunkt I: Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (auch Winkelsymmetralen genannt).

Die drei erstgenannten Punkte H, U und S liegen immer auf einer Geraden, der eulerschen Geraden. Auf ihr, und zwar genau in der Mitte zwischen H und U, liegt auch der Mittelpunkt des Feuerbachkreises.

Weitere Punkte nach der Encyclopedia of Triangle Centers

Die vier klassischen ausgezeichneten Punkte (Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt) waren schon in der Antike bekannt. In den letzten Jahrhunderten wurden viele weitere besondere Punkte gefunden und untersucht. Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers führt mehr als 65.000 solcher Punkte auf (Stand 27. August 2024). Die dort eingeführte Standardbezeichnung, bestehend aus dem Buchstaben X und einem Index, wird heute in vielen Abhandlungen zur Dreiecksgeometrie verwendet.

Wichtige Beispiele mit ihren Bezeichnungen:

  • X1: Inkreismittelpunkt
  • X2: Schwerpunkt
  • X3: Umkreismittelpunkt
  • X4: Höhenschnittpunkt (Orthozentrum)
  • X5: Mittelpunkt des Feuerbach-Kreises
  • X6: Lemoine-Punkt (Symmedianenpunkt, Grebe-Punkt)
  • X7: Gergonne-Punkt
  • X8: Nagel-Punkt
  • X9: Mittenpunkt
  • X10: Spieker-Punkt (Spieker-Zentrum)
  • X11: Feuerbachpunkt (Berührungspunkt von Inkreis und Feuerbachkreis)
  • X13: 1. Fermat-Punkt (u. a. kürzester Abstand zu allen Eckpunkten)
  • X14: 2. Fermat-Punkt
  • X15 und X16: 1. und 2. isodynamischer Punkt
  • X17 und X18: 1. und 2. Napoleon-Punkt
  • X19: Clawson-Punkt
  • X20: Longchamps-Punkt
  • X21: Schiffler-Punkt
  • X22: Exeter-Punkt
  • X40: Bevan-Punkt
  • X54: Kosnita-Punkt
  • X99: Steiner-Punkt
  • X175: Isoperimetrischer Punkt
  • X176: Punkt des gleichen Umwegs
  • X485 und X486: 1. und 2. Vecten-Punkt

Verwandte Themen

Neben Einzelpunkten lassen sich einem Dreieck auch bestimmte Tupel von Punkten zuordnen:

  • Morley-Dreieck
  • Napoleon-Dreieck
  • Höhenfußpunktdreieck
  • Brocard-Punkte
  • Johnson-Dreieck
  • Kiepert-Dreieck

Spezielle Kreise:

  • Umkreis, Inkreis, Ankreise
  • Feuerbach-Kreis (Neun-Punkte-Kreis)
  • Lamoen-Kreis
  • Taylor-Kreis
  • Johnson-Kreise

Weitere spezielle Kegelschnitte:

  • Kiepert-Hyperbel
  • Steiner-Ellipse
  • Steiner-Inellipse

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