Dreiecksgeometrie

Gegenstand und Bedeutung

Die Dreiecksgeometrie ist ein Teilgebiet der ebenen euklidischen Geometrie. Sie untersucht die Eigenschaften allgemeiner und besonderer Dreiecke sowie wichtige Punkte, Geraden und Kreise, die sich aus einem Dreieck ergeben. Für die Elementargeometrie ist sie besonders bedeutsam, weil sich beliebige Vielecke aus Dreiecken zusammensetzen lassen.

Eine eindeutige Abgrenzung von der Trigonometrie ist oft nicht möglich. Die Trigonometrie verwendet vor allem die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans und betont den rechnerischen Aspekt. Die Dreiecksgeometrie beschäftigt sich allgemeiner mit den geometrischen Eigenschaften von Dreiecken.

Grundlegende Sätze und Dreieckstypen

Zu den Grundlagen gehören Sätze über Seiten und Winkel eines allgemeinen Dreiecks. Dazu zählen insbesondere die Winkelsumme sowie die Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze. Kongruente Dreiecke stimmen in Form und Größe überein; ähnliche Dreiecke besitzen dieselbe Form, können aber unterschiedlich groß sein.

Wichtige besondere Dreiecke sind:

• Beim gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß.
• Beim gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel 60° groß.
• Beim rechtwinkligen Dreieck sind der Thaleskreis und der Satz des Pythagoras von zentraler Bedeutung.

Besondere Geraden, Kreise und Kriterien

Eine zentrale Gerade ist die eulersche Gerade. Auf ihr liegen drei wichtige Punkte eines Dreiecks: der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt.

Der Feuerbachkreis, auch Neun-Punkte-Kreis genannt, verläuft durch neun ausgezeichnete Punkte: die drei Seitenmittelpunkte, die drei Höhenfußpunkte und die drei Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte. Außerdem berührt er den Inkreis und die drei Ankreise.

Der Satz von Ceva dient dazu, einen gemeinsamen Schnittpunkt dreier Geraden nachzuweisen. Der Satz von Menelaos liefert dagegen ein Kriterium für die Kollinearität dreier Punkte, also dafür, dass die drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Klassische Transversalen und Dreieckszentren

Bereits in der antiken griechischen Mathematik wurden die klassischen Transversalen eines Dreiecks untersucht. Transversalen sind hier ausgezeichnete Geraden, die mit bestimmten Seiten, Winkeln oder Eckpunkten verbunden sind:

• Die Mittelsenkrechten, auch Streckensymmetralen genannt, schneiden sich im Umkreismittelpunkt.
• Die Winkelhalbierenden beziehungsweise Winkelsymmetralen der Innenwinkel schneiden sich im Inkreismittelpunkt. Die Winkelhalbierenden der Außenwinkel führen zu den Ankreismittelpunkten.
• Die Seitenhalbierenden, auch Schwerlinien genannt, schneiden sich im Schwerpunkt. Dieser teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1.
• Die Höhen schneiden sich im Orthozentrum, das auch Höhenschnittpunkt heißt.

Seit dem 17. Jahrhundert wurden zahlreiche weitere besondere Punkte entdeckt, darunter Fermat-Punkt, Mittenpunkt, Nagel-Punkt, Napoleon-Punkt, Lemoine-Punkt und Brocard-Punkt.

Neuere Forschung und Hilfsmittel

Auch im späten 20. Jahrhundert und danach wurden neue Objekte der Dreiecksgeometrie entdeckt, beispielsweise der Exeter-Punkt im Jahr 1986 und der Lamoen-Kreis im Jahr 2000.

Eine wichtige Grundlage solcher Entdeckungen ist dynamische Geometrie-Software. Mit ihr lassen sich genaue Zeichnungen in kurzer Zeit erstellen. Im Zugmodus können Punkte einer Konstruktion bewegt werden; dadurch lässt sich schnell erkennen, ob eine Vermutung möglicherweise allgemein gilt oder nicht. Für die eigentliche mathematische Absicherung ist anschließend ein Beweis erforderlich. Auch Computerprogramme zur automatisierten Beweisführung werden in der Dreiecksgeometrie erfolgreich eingesetzt.

Trilineare und baryzentrische Koordinaten sind weitere wichtige Hilfsmittel. Sie ermöglichen es, die zahlreichen besonderen Punkte eines Dreiecks in einheitlicher Form zu beschreiben.