Sinussatz

Kernidee und ebene Formel

Der Sinussatz gehört zur ebenen und sphärischen Trigonometrie. Er stellt in einem Dreieck eine Beziehung zwischen den Seitenlängen und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln her. Damit macht er rechnerisch nutzbar, dass Dreiecke mit gleichen Winkeln ähnlich sind.

Für ein ebenes Dreieck mit Seiten a, b, c und den gegenüberliegenden Winkeln α, β, γ lautet die kürzeste Form: a : b : c = sin α : sin β : sin γ. Gleichwertig schreibt man: a / sin α = b / sin β = c / sin γ.

Eine erweiterte Form verbindet diese gemeinsamen Quotienten mit dem Radius R des Umkreises, also des Kreises durch die drei Eckpunkte des Dreiecks: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2 · R. Der Sinussatz eignet sich besonders dann, wenn Winkel und gegenüberliegende Seiten in einem Dreieck miteinander verknüpft werden sollen.

Berechnungen in ebenen Dreiecken

Bei den Kongruenzfällen WSW und SWW ist ein Dreieck durch zwei Winkel und eine Seite vollständig bestimmt. Mit dem Sinussatz kann man daraus eine fehlende Seite berechnen; den letzten Winkel erhält man über die Winkelsumme 180°. Sind zum Beispiel a sowie α und β gegeben, dann gilt für die gegenüber β liegende Seite b: b = (sin β / sin α) · a. Der dritte Winkel ist γ = 180° − (α + β), und die letzte Seite kann berechnet werden durch c = (sin γ / sin α) · a.

Beim Fall SsW sind zwei Seiten und der Winkel gegenüber der größeren Seite gegeben. Dann ist das Dreieck eindeutig bestimmt. Sind zum Beispiel a und b sowie α gegeben, wobei b < a gilt, dann folgt aus dem Sinussatz: sin β = (b · sin α) / a. Wegen b < a gilt β < α, und wegen der Winkelsumme im Dreieck muss β < 90° sein. Deshalb gibt es genau einen passenden Winkel: β = arcsin((b · sin α) / a). Danach berechnet man γ = 180° − (α + β) und zum Beispiel c = (sin γ / sin α) · a.

Beim Fall sSW sind zwei Seiten und der Winkel gegenüber der kürzeren Seite gegeben. Dieser Fall ist im Allgemeinen nicht eindeutig. Sind etwa a und b mit a < b sowie α gegeben, dann ergibt sich ebenfalls sin β = (b · sin α) / a. Es können aber zwei Winkel passen: β₁ = arcsin((b · sin α) / a) und β₂ = 180° − β₁. Im Gegensatz zum SsW-Fall lässt sich β₂ meistens nicht ausschließen. Für eine eindeutige Lösung braucht man dann weitere Informationen über das Dreieck.

Begründung im ebenen Dreieck

Der Sinussatz für ebene Dreiecke kann auf mehrere Arten bewiesen werden. Ein anschaulicher Beweis verwendet Höhen. In einem Dreieck ABC betrachtet man zum Beispiel die Höhe h_c von C auf die Seite AB. Dadurch entstehen rechtwinklige Dreiecke, in denen der Sinus eines Winkels als Gegenkathete durch Hypotenuse beschrieben wird.

Bei einem spitzwinkligen Dreieck gilt sin α = h_c / b und sin β = h_c / a. Daraus folgt h_c = b · sin α und h_c = a · sin β, also a · sin β = b · sin α. Nach Division durch sin α · sin β erhält man a / sin α = b / sin β. Mit den anderen Höhen zeigt man entsprechend die Gleichheit mit c / sin γ.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck fällt der Lotfußpunkt der Höhe h_c mit einem Eckpunkt zusammen. Dann gilt h_c = a · sin β und h_c = b. Weil für den rechten Winkel sin α = 1 gilt, kann man auch h_c = b · sin α schreiben; der restliche Beweis läuft wie im spitzwinkligen Fall.

Bei einem stumpfwinkligen Dreieck schneidet die Höhe die Gerade AB außerhalb des Dreiecks. Dann gilt sin(180° − α) = h_c / b und sin β = h_c / a. Weil sin α = sin(180° − α) gilt, erhält man wieder a / sin α = b / sin β.

Die erweiterte Form mit dem Umkreisradius R lässt sich mithilfe des Peripheriewinkelsatzes zeigen. Wählt man auf dem Umkreis einen Punkt D so, dass AD ein Durchmesser ist, dann ist das Dreieck ABD nach dem Satz des Thales rechtwinklig. Daraus folgt 2 · R = c / sin δ. Nach dem Umfangswinkelsatz sind die Winkel γ und δ über derselben Seite c gleich groß, also sin γ = sin δ. Somit gilt 2 · R = c / sin γ; analog erhält man die entsprechenden Gleichungen für a und b. Ein weiterer Beweis ist mit Vektoren möglich, indem man Dreiecksseiten als Vektoren auffasst und das Vektorprodukt verwendet.

Kugeldreiecke

Der Sinussatz gilt auch für Kugeldreiecke, also Dreiecke auf einer Kugeloberfläche. Die Seiten a, b und c sind dabei keine geraden Strecken, sondern Kreisbögen auf der Kugel. Die Winkel α, β und γ liegen diesen Seiten jeweils gegenüber.

Für Kugeldreiecke lautet die Beziehung: sin α / sin a = sin β / sin b = sin γ / sin c. Im Unterschied zum ebenen Fall stehen hier also die Sinuswerte der Winkel im Verhältnis zu den Sinuswerten der Seitenbögen.

Ein geometrischer Beweis betrachtet eine Einheitskugel mit Radius OA = OB = OC = 1. Punkte D und E liegen auf den Radien OB und OC so, dass rechte Winkel entstehen. Außerdem wird A senkrecht auf die Ebene OBC projiziert; der Projektionspunkt heißt A'. Aus der Konstruktion folgen unter anderem sin c = AD / OA = AD und sin b = AE / OA = AE. Außerdem gilt AA' = AD · sin β = AE · sin γ. Einsetzen ergibt sin c · sin β = sin b · sin γ. Entsprechend erhält man sin b · sin α = sin a · sin β, und daraus insgesamt sin α / sin a = sin β / sin b = sin γ / sin c.

Der Kugel-Sinussatz kann auch algebraisch aus dem Seiten-Kosinussatz für Kugeldreiecke hergeleitet werden. Dabei nutzt man den trigonometrischen Pythagoras sin² α = 1 − cos² α und formt die Gleichungen so um, dass die Ausdrücke sin α / sin a, sin β / sin b und sin γ / sin c denselben Wert haben.

Historische Einordnung

Eine zum Sinussatz gleichwertige Aussage war bereits Ptolemäus im 2. Jahrhundert bekannt: Die Seitenlängen eines Dreiecks sind proportional zu den Längen der Sehnen, die zum Doppelten des jeweils gegenüberliegenden Winkels gehören. Ptolemäus verwendete diesen Zusammenhang in seinem Almagest.

Verwandte Aussagen finden sich im 7. Jahrhundert bei Brahmagupta. In seinem Brāhmasphuṭasiddhānta beschreibt er den Umkreisradius eines Dreiecks als Produkt zweier Seitenlängen, dividiert durch das Doppelte der Höhe zur dritten Seite. Setzt man die Höhe mithilfe einer Dreiecksseite und des Sinus eines Innenwinkels ein, erhält man daraus den Sinussatz. Eine dem modernen Sinussatz nähere Gleichung erscheint in Brahmaguptas Khaṇḍakhādyaka, allerdings behandelte er den Sinussatz nicht als eigenständiges Thema und verwendete ihn nicht systematisch für Dreiecksberechnungen.

Der Sinussatz für Kugeldreiecke wird manchmal Abu Mahmud al-Chudschandi oder Abū al-Wafāʾ zugeschrieben, wird aber besonders in einer Abhandlung von Abu Nasr Mansur hervorgehoben. Al-Bīrūnī schrieb ihm den Satz in seinem Werk Schlüssel zur Astronomie zu. Auch Ibn Muʿādh al-Jayyānīs Buch der unbekannten Bögen einer Kugel aus dem 11. Jahrhundert enthält den sphärischen Sinussatz.

Im 13. Jahrhundert formulierte und bewies Nasīr ad-Dīn at-Tūsī den Sinussatz für ebene Dreiecke: In einem ebenen Dreieck ist das Verhältnis der Seiten gleich dem Verhältnis der Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel. In heutiger Schreibweise: |AB| : |AC| = sin(∠ACB) : sin(∠CBA). Al-Tusi nutzte den Satz für Berechnungen bei Dreiecken mit einer Seite und zwei Winkeln oder mit zwei Seiten und einem Gegenwinkel. Laut Glen Van Brummelen bildete der Sinussatz für Regiomontanus im 15. Jahrhundert eine Grundlage seiner Berechnungen zu rechtwinkligen und allgemeinen Dreiecken.