Krümmungskreis

Grundidee des Krümmungskreises

Der Krümmungskreis (auch Schmiegekreis oder Schmiegkreis) ist zu einem bestimmten Punkt P einer ebenen Kurve der Kreis, der die Kurve dort am besten annähert. Sein Mittelpunkt heißt Krümmungsmittelpunkt.

Der Radius dieses Kreises heißt Krümmungsradius. Er ist der Betrag des Kehrwerts der Krümmung der Kurve in P. Die Tangente des Krümmungskreises stimmt in P mit der Tangente der Kurve überein.

Meist verändert sich die Krümmung entlang einer Kurve. Deshalb passt der Krümmungskreis normalerweise nur in einer infinitesimal kleinen Umgebung um P besonders gut: Auf einer Seite von P liegt er innerhalb, auf der anderen außerhalb der Kurve C; in einem gewissen Abstand von P schneidet er C. Hat die Krümmung in P dagegen ein Extremum, schmiegt sich der Kreis über eine längere Strecke an die Kurve an, ohne die Kurvenseite zu wechseln. Dann gibt es keinen Schnittpunkt zwischen Kurve und Krümmungskreis.

Bestimmung bei parameterisierten Kurven

Der Krümmungsmittelpunkt kann als Grenzlage von Schnittpunkten von Normalen bestimmt werden: Nähern sich Kurvenpunkte P₁, P₂, … einem Punkt S, so nähern sich auch die Schnittpunkte K₁, K₂, … ihrer Normalen dem Krümmungsmittelpunkt K.

Für die Parameterdarstellung x⃗(t) = (x₁(t), x₂(t))ᵀ lautet der Krümmungsradius r = |((x₁′(t)² + x₂′(t)²)^(3/2)) / (x₁′(t) · x₂″(t) − x₁″(t) · x₂′(t))|.

Für den Mittelpunkt K = (Kₓ|Kᵧ) wird der Betrag beim Radius nicht verwendet, damit der Mittelpunkt auf der richtigen Seite der Kurve liegt: Kₓ = x₁(t) − [x₂′(t) · (x₁′(t)² + x₂′(t)²)] / [x₁′(t) · x₂″(t) − x₁″(t) · x₂′(t)]

Kᵧ = x₂(t) + [x₁′(t) · (x₁′(t)² + x₂′(t)²)] / [x₁′(t) · x₂″(t) − x₁″(t) · x₂′(t)].

Die Bahn aller Krümmungskreismittelpunkte heißt Evolute der Kurve.

Funktionsgraphen

Bei einer Funktion f ist die Krümmung an der Stelle x₁ = xP die Krümmung ihres Graphen im Punkt (xP|f(xP)). Der Graph wird als Parameterkurve geschrieben: x⃗(t) = (t, f(t))ᵀ.

Dazu gehören die Ableitungen x⃗′(t) = (1, f′(t))ᵀ und x⃗″(t) = (0, f″(t))ᵀ.

Der Krümmungsradius an der Stelle xP ist damit r(xP) = |(1 + f′(xP)²)^(3/2) / f″(xP)|.

Der Mittelpunkt des Krümmungskreises hat die Koordinaten Kₓ = xP − [f′(xP) · (1 + f′(xP)²)] / f″(xP) und Kᵧ = yP + [1 + f′(xP)²] / f″(xP).

Kreis und Parabel

Für den Einheitskreis mit der Parameterdarstellung x⃗(t) = (cos(t), sin(t))ᵀ ist der Krümmungsradius konstant und gleich dem Kreisradius: r = 1. Allgemein ist der Krümmungsradius eines Kreises konstant und genauso groß wie sein Radius.

Ein Kreis mit Radius 2, der mit konstanter Geschwindigkeit 1 im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, kann durch x⃗(t) = (2 · cos(t/2), 2 · sin(−t/2))ᵀ beschrieben werden. Seine Krümmung beträgt konstant 1/2, sein Krümmungsradius konstant 2. Der dabei erwähnte „Beschleunigungsvektor“ ist die zweite Ableitung d²x⃗/dt².

Für die Normalparabel f(x) = x² gilt f′(x) = 2 · x und f″(x) = 2. Daraus folgt r(x) = |(1 + 4 · x²)^(3/2) / 2|. An der Stelle x = 0 beträgt der Krümmungsradius r = 0,5. Für große x wächst er ungefähr wie x³; die Kurve wird immer gerader.

Lissajous-Kurve

Eine Lissajous-Kurve mit Frequenzverhältnis 2:3 hat die Parameterdarstellung x⃗(t) = (cos(3t), sin(2t))ᵀ.

Ihre erste und zweite Ableitung sind x⃗′(t) = (−3 sin(3t), 2 cos(2t))ᵀ und x⃗″(t) = (−9 cos(3t), −4 sin(2t))ᵀ.

Nach Einsetzen in die allgemeine Formel für den Krümmungsradius und mithilfe der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus ergibt sich r(t) = (232 cos(t)^4 − 97 cos(t)^2 + 13 − 144 cos(t)^6)^(3/2) / [6 cos(t)(8 cos(t)^4 − 10 cos(t)^2 + 5)].

Der in der Abbildung genannte „Beschleunigungsvektor“ ist hier die zweite Ableitung d²x⃗/ds² nach der Bogenlänge s.