Substitution (Mathematik)

Grundidee und Anwendungen

Eine Substitution ist in der Mathematik das Ersetzen eines Terms durch einen anderen. Dadurch soll ein zunächst schwieriger Ausdruck in eine bekannte, leichter lösbare Standardform überführt werden. Nach dem Lösen wird durch Rücksubstitution wieder zur ursprünglichen Variablen zurückgekehrt.

Substitutionen werden unter anderem zum Lösen linearer und nichtlinearer Gleichungen eingesetzt. Weitere Anwendungen sind Variablentransformationen bei Differentialgleichungen, die Vereinfachung komplizierter Indizes in Reihen, Koordinatentransformationen in Geometrie und Analysis, die Berechnung von Integralen sowie die Transformation von Zufallsvariablen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Biquadratische Gleichung

Die Gleichung x⁴ + x² − 2 = 0 ist biquadratisch und kann zugleich als Nullstellenproblem eines Polynoms 4. Grades verstanden werden. Mit der Substitution t := x² entsteht die quadratische Gleichung

t² + t − 2 = 0.

Sie kann mit einem Standardverfahren wie der p-q-Formel gelöst werden. Ihre Lösungen sind t₁ = 1 und t₂ = −2.

Bei der Rücksubstitution liefert x² = 1 die reellen Lösungen x₁ = 1 und x₂ = −1. Aus x² = −2 folgen die komplexen Lösungen x₃ = i√2 und x₄ = −i√2. Damit lautet die Lösungsmenge in ℝ: {1, −1}. In ℂ lautet sie: {1, −1, i√2, −i√2}.

Gleichung mit Exponentialfunktion

Gesucht sind alle x im Fundamentalstreifen Sπ := {z ∈ ℂ : −π < Im z ≤ π}, welche die Gleichung

exp(2x) − 2exp(x) − 3 = 0

erfüllen. Durch die Substitution t := exp(x) wird daraus

t² − 2t − 3 = (t − 3)(t + 1) = 0.

Daraus ergeben sich t₁ = 3 und t₂ = −1. Nach der Rücksubstitution ist die Lösungsmenge in ℝ gleich {ln(3)}. Auf dem Fundamentalstreifen Sπ lautet sie {ln(3), iπ}.