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Integration durch SUBSTITUTION – Integral lösen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 63 Zeilen
- hallo ihr Lieben heute möchte ich euch Schritt für Schritt zeigen wie man dieses Integral hier lösen kann wenn wir uns das Integral mal anschauen dann
- sehen wir dass wir hier Grenzen haben an die müssen wir einfach nur denken dass wir die am Schluss einsetzen viel schlimmer ist unsere Funktion die hier
- im integral steht denn da sehen wir okay die ist so verschachtelt und so kompliziert gebaut dass man nicht direkt einfach eine Stammfunktion angeben kann
- also da müssen wir ran uns die Verfahren anzuschauen es gibt ja zum Beispiel die Substitution die uns helfen kann so ein Integral zu lösen oder die partielle
- Integration und der schwierigste Schritt am Anfang ist zu entscheiden welches Verfahren man jetzt für dieses Integral hier verwendet die Parzelle Integration
- benutzt man normalerweise dann wenn man ein Produkt anfunktion hat also sowas wie x mal e hoch x ist jetzt hier nicht der Fall aber das heißt nicht dass die
- Parzelle Integration nicht doch funktionieren könnte denn so ein durch kann man ja in ein Mal umwandeln und dann funktioniert das dann doch aber
- warum nutzt man hier jetzt lieber die Substitution denn man hat hier verschachtelte Funktionen also ineinander verkettete Funktion dieses
- Wurzel von X hier hat sich in diese ehefunktion reingeschlichen sozusagen also normalerweise erwarten wir ein E hoch x das ist da steht aber hier steht
- auch Wurzel x also diese Wurzelfunktion ist verkettet mit dieser e-Funktion und immer dann ist es ein starkes Zeichen für die Substitution
- hinzu kommt allerdings noch dass hier dieses Wurzel von X steht und da denkt man sich was will das hier ich will ja eigentlich nur dieses Wurzel von X hier
- oben ersetzen also bei der Substitution geht es dann darum dass wir dieses Wurzel von X durch ein U ersetzen also das wird die Funktion an sich leichter
- machen und da stört uns dieses Wurzel von X hier unten weil das hat ja erstmal nichts damit zu tun aber da gibt's noch einen Tipp worauf ihr achten könnt wann
- man die Substitution tatsächlich sehr gut anwenden kann nämlich genau dann wenn das was ihr ersetzen wollte also dieses Wurzel von X jetzt in unserem
- Fall wenn wir das durch uh ersetzen wollen ähm wenn ihr das was ersetzen wollt einmal ableitet also die Ableitung hier von bildet ist immer schnell im
- Kopf also die meisten merken sich glaube ich auch auswendig dass die Ableitung von Wurzel x 1 durch 2 Wurzel X ist und immer dann wenn die Ableitung noch mal
- zu finden ist oder zumindest der x-teil dieses Wurzel von X hier von der Ableitung ist ja tatsächlich hier noch mal zu finden im integral immer dann
- wenn das der Fall ist ist es ein sehr gutes Zeichen dass die Substitution gut werden wird das nicht alle Zahlen von der Ableitung hier vorkommen das macht
- nichts also die eins macht nichts die zwei macht nichts das ist macht wirklich gar nichts aber die Dinge mit X die sollten noch mal vorkommen und das ist
- hier der Fall von daher sieht die Welt echt gut aus und wir können die Substitution anwenden so erster Schritt erledigt wir haben uns für ein Verfahren
- entschieden das jetzt in ein paar Schritten abzuarbeiten ist aber Gott sei Dank sind immer dieselben Schritte deswegen als allererstes ersetzen wir
- etwas was uns stört durch ein U haben wir eben schon geklärt dieses Wurzel von X wollen wir weg haben dass wir das als umsetzen das ist der allererste Schritt
- dann hätten wir den schon mal erledigt zweiter Schritt wenn wir den Grenzen haben dann passen wir jetzt die Grenzen an denn das vergisst man immer sehr
- schnell im Verfahren und deswegen finde ich das eigentlich ganz gut wenn man das direkt am Anfang macht und zwar ist es so dass die Grenzen die
- wir hier jetzt momentan haben die gehören zu unserem x also hier stand der DX und wir werden gleich alles durch u ersetzen und dann müssen wir auch u
- Grenzen haben also die Grenzen hier ist nichts schlimmes einfach hier einsetzen tatsächlich also für das X weil das sind ja x-grenzen die Null einmal als untere
- Grenze einsetzen dann haben wir Wurzel von 0 das ist null die unsere Grenze ändert sich gar nicht ist ja auch blöd jetzt aber gut okay normalerweise ändern
- sie sich aber in dem Fall jetzt nicht und die obere Grenze auch einmal einsetzen also welche u-grenze kriegen wir Wurzel von 1 okay ist auch eins also
- hier haben sich die Grenzen tatsächlich mal nicht geändert aber das einmal anpassen also einmal anpassen dass ihr wisst okay das sind
- jetzt ugrenzen ich habe sie angepasst auch wenn Sie sich hier nicht verändert haben und habe den Schritt erledigt dann dritter Schritt immer dasselbe die du
- nach DX bilden das heißt nichts anderes als bildet die Ableitung von unserem u also du oder schreibst auch noch rot die U nach DX
- ist einfach nur die mathematische Schreibweise für u- von X also Bilde einfach die Ableitung von mir aber schreibst so denn das ist die bessere
- Variante die wir hier gut dann ersetzen können deswegen einfach einmal ableiten Wurzel von X ableiten hat man eben schon gesehen dass das eins durch zweimal
- Wurzel X ist falls es nicht im Kopf habt ich würde euch echt empfehlen wusste von X kommt so häufig vor es ist super nervig ist
- immer wieder herzuleiten aber falls es nicht im Kopf habt könnt ihr es ähm die Wurzel von X sehr umschreiben als x hoch einhalb und dann die ganz normale Regel
- anwenden dass man die Hochzahlen nach vorne zieht also beim Ableiten einhalb kommt vorne dran und dann wird die Hochzahl 1 um 1 verringert einhalb minus
- 1 sind -1,5 und das hier ist genau dasselbe wie das hier nur die Schreibweise noch nicht ganz perfekt angepasst aber wenn man die negative
- Hochzahl erstmal weg macht kann man das ja machen indem man 1 durch das da hin schreibt aber dann nicht mehr mit dem Minus sondern nur noch hoch einhalb hoch
- einhalb steht für nix anderes als die Wurzel von x und dann seht ihr es wenn es auf einen Bruch schreibt dass das genau das da ist also super nervig zum
- herleiten immer wieder deswegen merkt euch einfach im Kopf und ja neben den anderen Ableitungen die ich wahrscheinlich auch noch im Kopf habe
- genau aber das war der Schritt der U nach der x-bilden haben wir erledigt einfach einmal ableiten ist gecheckt Nummer 4 nach DX umstellen okay also das
- was wir hier gerade gemacht haben stellen wir jetzt einfach nach DX oben alles klar das heißt hier ist durch DX das DX muss auf jeden Fall nach oben
- kommen das steht momentan unten im Nenner drin das heißt wir multiplizieren einmal mit DX dann steht das oh alleine auf der linken Seite und rechts steht
- der ganze Klotz hier der dann mit DX einmal multipliziert wird wir wollen nach der X umstellen dafür stört dieser Bruch hier den kriegen wir weg wenn wir
- mal zwei und malwurzel x rechnen die da im Nenner stehen dann löst sich dieser Bruch hier auf das hier muss nur auch auf den linke Seite also du mal das da
- ich würde euch vorschlagen das rum zu drehen also das hier mal du dass du einfach hinten steht das ist ja die gängige Art wie das dann nachher im
- integral vorkommt und auf der rechten Seite löst sich der Bruch dann damit auf und da steht dann tatsächlich nur noch das DX so wie wir das gewünscht haben
- das war der vierte Schritt dass wir das nach DX umstellen und dann können wir schon zum fünften Schritt alles im integral ersetzen okay schauen wir mal
- was alles naja alles was wir vorbereitet haben wir haben diesem Jahr einmal e hoch und dieses Wurzel von X wollten wir als u schreiben das Wurzel von X
- lass das mal noch drin das hat er damit jetzt erstmal nichts zu tun aber auch das DX wird jetzt eben durch diesen Teil hier ersetzt also statt DX schreiben wir
- hier hinten zwei Mal Wurzel von x und dann das du hinten dran schön immer dran denken haben wir die Grenzen angepasst ja haben wir schon gemacht weil sobald
- ihr die EU habt braucht ihr auch Grenzen okay jetzt vereinfachen wir das Ganze ein bisschen dann seht ihr das Wurzel von x und Wurzel von XXI unten sich weg
- kürzen Gott sei Dank dann ist nämlich x komplett raus und nur noch uh kommt hier vor also in unserem integral haben wir dann EU mal zwei also zwei mal e hoch
- und dann ist die EU hinten und das ist doch schon super easy geworden das können wir ohne Probleme integrieren dafür kennen wir Regeln und zwar zweimal
- also die zwei bleibt beim Integrieren einfach auch vorhanden einfach als zwei und e hochu integriert ist einfach noch mal e hoch oben die Funktion ist ja ganz
- nett zu uns die Grenzen 0 bis 1 und dann können wir die schon einsetzen also zuerst die obere Grenze für jedes u was wir hier finden die eins rein dann haben
- wir zwei Mal e hoch 1 Minus und dasselbe jetzt mit der unteren Grenze zwei Mal e hoch 0 kommt da rein dann rechnen wir das aus bzw schreiben
- uns um also zweimal e hoch 1 ist 2 mal eh und zwar mal e hoch 0,0 ist nichts anderes als eins also zweimal eins sind zwei und das wäre der exakte Wert von
- unserem integral falls ihr keine Grenzen gegeben habt bei eurer Aufgabe dann stehen ja hier keine Grenzen das wäre eure Stammfunktion und dann müsstet ihr
- jetzt in diesem Schritt noch mal die rücksubstitut Situation machen also für das U noch mal das Einsetzen was ursprünglich da stand also das wäre
- dieses Wurzel x und wenn ihr keine Grenzen habt müsst ihr dann halt noch das Plus C hin reinpacken das dürfte nicht vergessen aber all das nur in dem
- Fall wenn ihr keine Grenzen habt wir hatten hier welche deswegen einsetzen und dann haben wir es geschafft dann hoffe ich dass es euch geholfen hat
- falls ihr Fragen habt schreibt sie gerne in die Kommentare ansonsten euch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut
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