Integration durch Substitution

Grundidee und Regel

Die Integration durch Substitution, auch Substitutionsregel genannt, ist eine wichtige Methode der Integralrechnung. Sie dient dazu, Stammfunktionen zu finden und bestimmte Integrale auszuwerten. Die Grundidee ist, einen komplizierten Integranden durch eine neue Variable so umzuschreiben, dass ein einfacheres Integral entsteht. Im Hintergrund steht der Transformationssatz, einer der wichtigen Sätze der Analysis.

Die Substitutionsregel ist die Umkehrung der Kettenregel der Differentialrechnung. Wenn also bei einer Ableitung durch die Kettenregel ein Produkt aus äußerer Ableitung und innerer Ableitung entsteht, kann man bei einem passenden Integral diesen Aufbau rückgängig machen.

Die zentrale Aussage lautet: Ist f: I → R eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall I und φ: [a,b] → I eine stetig differenzierbare Funktion, dann gilt ∫a^b f(φ(x)) · φ'(x) dx = ∫{φ(a)}^{φ(b)} f(t) dt.

Dabei wird t = φ(x) als neue Integrationsvariable eingeführt. Die Ableitung φ'(x) dx wird als dt geschrieben. Bei bestimmten Integralen müssen außerdem die Grenzen angepasst werden: Aus x = a wird t = φ(a), aus x = b wird t = φ(b).

Herleitung und Beweisidee

Heuristisch schreibt man bei der Substitution t = φ(x). Dann gilt dt/dx = φ'(x). Fasst man dies als Quotient von Differentialen auf, erhält man nach Multiplikation mit dx die Beziehung φ'(x) dx = dt. Dadurch wird aus ∫ f(φ(x)) · φ'(x) dx das Integral ∫ f(t) dt.

Der Beweis benutzt eine Stammfunktion F von f. Nach der Kettenregel gilt für die zusammengesetzte Funktion F ∘ φ: (F ∘ φ)'(x) = F'(φ(x)) · φ'(x) = f(φ(x)) · φ'(x).

Damit ist F ∘ φ eine Stammfunktion von (f ∘ φ) · φ'. Wendet man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zweimal an, folgt ∫_a^b f(φ(x)) · φ'(x) dx = (F ∘ φ)(x)|a^b = F(φ(b)) − F(φ(a)) = ∫{φ(a)}^{φ(b)} f(t) dt.

Diese Begründung zeigt, warum die Methode funktioniert: Man erkennt in einem Integral die Ableitung einer verketteten Funktion wieder.

Transformationssatz und rückwärtige Substitution

Die Substitutionsmethode kann unter engeren Voraussetzungen auch rückwärts angewendet werden. Dies nennt der Artikel Substitution 2. Art. Ausgangspunkt ist ein Integral der Form ∫_α^β f(x) dx für eine stetige Funktion f: I → R mit α, β ∈ I.

Man verwendet eine Funktion φ: [a,b] → I, die injektiv und stetig differenzierbar ist. Injektiv bedeutet: Verschiedene Eingabewerte haben verschiedene Funktionswerte. Dann existiert die Umkehrfunktion φ^−1. Die Substitutionsregel kann dann von rechts nach links gelesen werden: ∫α^β f(x) dx = ∫{φ^−1(α)}^{φ^−1(β)} f(φ(t)) φ'(t) dt.

Die Interpretation lautet: Wird die Variable x durch x = φ(t) transformiert, bleibt der Wert des Integrals erhalten, wenn man den neuen Integranden f ∘ φ mit φ'(t) multipliziert und die Integralgrenzen passend umrechnet. In dieser Form heißt die Substitutionsregel auch Transformationsformel. Obwohl der Integrand zunächst komplizierter aussehen kann, kann eine geschickt gewählte Funktion φ das Integral vereinfachen.

Bestimmte und unbestimmte Integrale

Bei bestimmten Integralen werden die Grenzen direkt in die neue Variable umgerechnet. Ein einfaches Beispiel ist ∫_0^a sin(2x) dx für a > 0. Mit t = 2x gilt dt = 2 dx, also dx = 1/2 dt. Die Grenzen werden von x = 0 zu t = 0 und von x = a zu t = 2a. Damit ergibt sich ∫_0^a sin(2x) dx = 1/2 ∫_0^{2a} sin(t) dt = 1/2(1 − cos(2a)).

Ein weiteres Beispiel ist ∫_0^2 x cos(x² + 1) dx. Mit t = x² + 1 ist dt = 2x dx, also x dx = 1/2 dt. Die Grenzen werden zu t(0) = 1 und t(2) = 5. Daher gilt ∫_0^2 x cos(x² + 1) dx = 1/2 ∫_1^5 cos(t) dt = 1/2(sin(5) − sin(1)).

Bei unbestimmten Integralen gibt es keine festen Grenzen. Wichtig ist hier die Rücksubstitution: Am Ende muss die eingeführte Variable t wieder durch den ursprünglichen Term ersetzt werden. Für eine stetige Funktion f und eine stetig differenzierbare Funktion φ gilt mit einer Stammfunktion F von f: F(φ(x)) = ∫ f(φ(x)) · φ'(x) dx.

Beispiele: Durch quadratische Ergänzung und t = x + 1 erhält man ∫ 1/(x² + 2x + 2) dx = ∫ 1/((x+1)² + 1) dx = ∫ 1/(t² + 1) dt = arctan(t) + C = arctan(x+1) + C.

Mit t = x² und dt = 2x dx folgt ∫ x cos(x²) dx = 1/2 ∫ cos(t) dt = 1/2 sin(x²) + C.

Für den Tangens ergibt t = cos(x), dt = −sin(x) dx: ∫ tan(x) dx = −ln(|cos(x)|) + C. Für den Kotangens ergibt t = sin(x), dt = cos(x) dx: ∫ cot(x) dx = ln(|sin(x)|) + C.

Spezialfälle

Ein wichtiger Spezialfall ist die lineare Substitution. Wenn die Integrationsvariable x im Integranden nur in einem Term ax + b mit a ≠ 0 vorkommt, gilt: Ist F eine Stammfunktion von f, dann ∫ f(ax+b) dx = 1/a · F(ax+b) + C. Zum Beispiel ist ∫ e^(3x+1) dx = 1/3 e^(3x+1) + C, da f(x) = e^x = F(x) und a = 3 ist.

Ein weiterer Spezialfall ist die logarithmische Integration. Wenn der Integrand ein Bruch ist, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, gilt ∫ f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C. Dies ist eine Substitution 1. Art mit t = f(x). Zum Beispiel: ∫ x/(x²+1) dx = 1/2 ∫ 2x/(x²+1) dx = 1/2 ln(x²+1) + C, da f(x) = x² + 1 die Ableitung f'(x) = 2x hat.

Die Eulersche Substitution betrifft Integrale mit Wurzeln quadratischer Polynome. Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale der Typen ∫ √(ax² + bx + c) dx und ∫ dx/√(ax² + bx + c) elementar integrieren. Euler schlug dafür mehrere Substitutionen 2. Art vor, abhängig von den Eigenschaften des Polynoms ax² + bx + c.

Ein Beispiel ist ∫ dx/√(x²+1). Mit t = x + √(x²+1) erhält man x = t/2 − 1/(2t) und dx = (1/2 + 1/(2t²)) dt. Daraus folgt ∫ dx/√(x²+1) = ∫ dt/t = ln|t| + C = ln|x + √(x²+1)| + C.