Zweitafelprojektion

Grundidee der Zweitafelprojektion

Die Zweitafelprojektion ist eine grundlegende Methode der Darstellenden Geometrie. Ein Punkt P im Raum wird durch zwei senkrechte Parallelprojektionen auf zwei zueinander senkrechte Ebenen π₁ und π₂ abgebildet. Üblicherweise ist π₁ waagerecht und heißt Grundrisstafel; π₂ ist senkrecht und heißt Aufrisstafel. Die Schnittgerade k₁₂ = π₁ ∩ π₂ heißt Risskante. Die Bilder P′ und P″ heißen Grundriss beziehungsweise Aufriss.

Grund- und Aufriss enthalten zusammen alle räumlichen Informationen über P. Werden die Tafeln als Koordinatenebenen eines x-y-z-Koordinatensystems aufgefasst, entsprechen diese Informationen den Koordinaten x, y und z. Für das Zeichnen wird die Aufrisstafel um die Risskante in die Grundrisstafel geklappt. Dann liegen beide Risse in einer Zeichenebene. P′ und P″ sind dort durch einen Ordner, also ein Lot zur Risskante, einander zugeordnet.

Meist zeichnet man Grundrisse unterhalb und Aufrisse oberhalb der Risskante, damit beide Ansichten leichter unterscheidbar sind. Dies ist jedoch keine zwingende Folge der räumlichen Lage. Das Lesen von Punktlagen aus zwei Rissen verlangt Übung, weil die Darstellung weniger anschaulich ist als eine Axonometrie.

Geraden, Sonderlagen und Spurpunkte

Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt. Deshalb sind ihr Grundriss und ihr Aufriss bestimmt, sobald die zugeordneten Risse zweier Punkte bekannt sind.

Wichtige Sonderlagen sind:

• Eine Höhenlinie ist parallel zur Grundrisstafel π₁.
• Eine Frontlinie ist parallel zur Aufrisstafel π₂.
• Eine Hauptgerade ist entweder eine Höhenlinie oder eine Frontlinie.
• Eine Erstprojizierende steht senkrecht auf π₁ und ist damit ein Projektionsstrahl für den Grundriss.
• Eine Zweitprojizierende steht senkrecht auf π₂ und ist damit ein Projektionsstrahl für den Aufriss.
• Eine gelehnte Gerade liegt in einer Ebene π₃, die senkrecht zur Risskante k₁₂ ist. Sie ist bei Konstruktionen ungünstig, weil Grund- und Aufriss auf denselben Ordner fallen.

Hauptgeraden ermöglichen das Ablesen wahrer Längen: Eine Strecke auf einer Höhenlinie erscheint im Grundriss in wahrer Länge, eine Strecke auf einer Frontlinie im Aufriss. Ein rechter Winkel bleibt im Grundriss erhalten, wenn ein Schenkel eine Höhenlinie ist; entsprechend bleibt er im Aufriss erhalten, wenn ein Schenkel eine Frontlinie ist. Ein beliebiger Winkel erscheint in wahrer Größe, wenn beide Schenkel parallel zur jeweiligen Bildtafel liegen. Diese Tafelparallelität kann durch Drehen der Ebene um eine Höhen- oder Frontlinie oder durch zwei Umprojektionen erreicht werden.

Spurpunkte einer Geraden sind ihre Durchstoßpunkte S₁ und S₂ mit den Risstafeln. Es gilt S₁ = S₁′ und S₂ = S₂″. Außerdem liegen S₁″ und S₂′ auf der Risskante.

Ebenen und Lote

Eine Ebene wird gewöhnlich durch ein Dreieck oder durch zwei sich schneidende Geraden in Grund- und Aufriss beschrieben. Für zwei Geraden wählt man möglichst Hauptgeraden oder Spurgeraden. Spurgeraden s₁ und s₂ sind die Schnittgeraden der Ebene mit den Risstafeln. Für sie gilt s₁ = s₁′ und s₂ = s₂″; die jeweils anderen Risse s₁″ und s₂′ fallen mit der Risskante zusammen und werden meist nicht eingezeichnet.

Alle Frontlinien einer Ebene sind zueinander parallel und insbesondere parallel zur Aufrissspur s₂. Alle Höhenlinien einer Ebene sind ebenfalls parallel und insbesondere parallel zur Grundrissspur s₁. Diese Eigenschaften helfen beim Konstruieren einer Ebene und beim Erkennen ihrer Lage.

Für ein Lot auf eine Ebene gilt: Der Grundriss des Lotes steht senkrecht auf einer beliebigen Höhenlinie der Ebene; der Aufriss steht senkrecht auf einer beliebigen Frontlinie. Soll der Abstand eines Punktes Q von einer Ebene bestimmt werden, schneidet man das Lot durch Q mit der Ebene. Der Schnittpunkt F heißt Lotfußpunkt. Die wahre Länge der Strecke QF ist der gesuchte Abstand.

Für das Lot von Q auf eine Gerade g benutzt man eine Hilfsebene ε durch Q, die senkrecht zu g ist; sie heißt Lotebene. Der Grundriss h₁′ der Höhenlinie h₁ von ε durch Q steht senkrecht zu g′, während h₁″ parallel zur Risskante ist. Der Aufriss h₂″ der Frontlinie h₂ durch Q steht senkrecht zu g″, während h₂′ parallel zur Risskante ist. Höhen- und Frontlinie legen ε fest. Der Lotfußpunkt ist F = g ∩ ε; die wahre Länge von QF ist der Abstand von Q zu g.

Neuer Aufriss und wahre Gestalt

Durch einen zusätzlichen Riss lassen sich zwei Grundaufgaben lösen: ein anschaulicherer Orthogonalriss eines Körpers und die wahre Gestalt einer ebenen Figur. Gegeben sind P′, P″ und eine neue Aufrisstafel π₃ mit der Risskante k₁₃. Der gesuchte neue Aufriss P‴ wird so konstruiert: P′ und P‴ sind über einen Ordner, ein Lot zu k₁₃, zugeordnet. P‴ liegt auf diesem Ordner und hat von k₁₃ denselben Abstand wie P″ von der alten Risskante k₁₂. P″ und P‴ sind dagegen nicht einander zugeordnet.

Am Rhombendodekaeder wird dies gezeigt. Ein neuer Aufriss kann gewählt werden, damit keine Punkte mehr hintereinander liegen und die einzelnen Rhomben besser erkennbar werden. Die neue Risskante soll dabei nicht parallel und nicht senkrecht zum Grundriss einer Polyederkante sein. Für eine wahre Gestalt wird eine neue Aufrissebene parallel zur betreffenden Figur gewählt. Beim Rhombus FKGC wird deshalb k₁₄ parallel zu F′G′ gewählt. Der neue Aufriss F⁗K⁗G⁗C⁗ zeigt die wahre Gestalt der Rhomben.

Kreuzriss und Dreitafelprojektion

Ist eine neue Risstafel sowohl zur Grundrisstafel als auch zur Aufrisstafel senkrecht, also k₂₃ ⟂ k₁₂, heißt der neue Aufriss Kreuzriss. Er wird direkt dem vorhandenen Aufriss zugeordnet. Zum Grundriss wird er mithilfe konzentrischer Kreisbögen als Ordner zugeordnet.

Mit Grundriss, Aufriss und Kreuzriss können Informationen aus jedem Riss über die passenden Ordner in die beiden anderen Risse übertragen werden. Diese Anordnung heißt Dreitafelprojektion. Sie erweitert die Zweitafelprojektion um eine weitere Darstellungsebene und macht Abbildungen übersichtlicher, besonders wenn viele Punkte eine Ebene oder einen Körper kennzeichnen.