Gleitspiegelung

Grundidee und Eigenschaften

Eine Gleitspiegelung, auch Schubspiegelung genannt, ist in der Geometrie eine spezielle Kongruenzabbildung. In der Ebene entsteht sie durch die Hintereinanderausführung einer Parallelverschiebung und einer Geradenspiegelung. Dabei verläuft die Verschiebung parallel zur Spiegelgeraden.

Allgemeiner gilt in einem Vektorraum V: Eine Gleitspiegelung ist die Hintereinanderausführung einer Parallelverschiebung und einer Spiegelung an einer Hyperebene H. Der Translationsvektor steht dabei parallel zu H. Eine Hyperebene ist in der Ebene eine Gerade und im dreidimensionalen Raum eine Ebene.

Die Reihenfolge spielt keine Rolle: Es ist für das Ergebnis gleichgültig, ob zuerst gespiegelt oder zuerst verschoben wird. Als Kongruenzabbildungen erhalten Gleitspiegelungen Längen; eine gleitgespiegelte Strecke ist also genauso lang wie das Original. Deshalb sind Gleitspiegelungen Isometrien. Sie erhalten aber nicht die Orientierung einer Figur und gehören daher nicht zu den orientierungstreuen Abbildungen.

Gleitspiegelungen sind besonders wichtig in der diskreten Geometrie, zum Beispiel bei der Klassifizierung von Isometrien in Dimension 2 und 3 oder bei der Untersuchung von Bandornamentgruppen. In der Kristallographie können Gleitspiegelebenen Symmetrieelemente einer Raumgruppe sein.

Gleitspiegelung in der Ebene

In der zweidimensionalen Geometrie ist eine affine Hyperebene eine Gerade. Eine Gleitspiegelung in Dimension 2 ist deshalb eine Spiegelung an einer affinen Geraden, verbunden mit einer Translation parallel zu dieser Geraden.

Isometrien in euklidischen Vektorräumen der Dimension 2 lassen sich geometrisch klassifizieren. Die Gleitspiegelung ist dabei einer von insgesamt 5 Typen. Die anderen Typen sind Identität, Translation, Drehung und Spiegelung.

Gleitspiegelung im Raum

In Räumen dritter Dimension ist eine affine Hyperebene eine Ebene. Eine Gleitspiegelung spiegelt ein Objekt hier an einer Ebene und verschiebt das Ergebnis anschließend parallel zu dieser Ebene.

Auch in euklidischen Vektorräumen der Dimension 3 werden Isometrien geometrisch klassifiziert. Die Gleitspiegelung ist hier einer von insgesamt 7 Typen. Außerdem unterscheidet man Identität, Translation, Spiegelung bzw. Ebenenspiegelung, Drehung, Drehspiegelung und Schraubung.

Raumgruppen und erlaubte Gleitspiegelebenen

In einer Raumgruppe können nur Gleitspiegelebenen vorkommen, die mit dem Translationsgitter der Gruppe verträglich sind. Das Translationsgitter beschreibt die regelmäßigen Verschiebungen, die zur Symmetrie der Gruppe passen.

Eine reine Spiegelung zweimal hintereinander ausgeführt ergibt die Identität. Daraus folgt: Eine Gleitspiegelung zweimal hintereinander ausgeführt muss eine reine Translation ergeben, die mit dem Gitter verträglich ist. Deshalb sind für Gleitspiegelungen als Kombinationen aus Spiegelung und Translation nur bestimmte Möglichkeiten erlaubt.

Zu diesen Möglichkeiten gehören axiale Gleitspiegelebenen mit den Hermann-Mauguin-Symbolen a, b und c, Diagonalgleitspiegelebenen mit dem Symbol n und Diamantgleitspiegelebenen mit dem Symbol d. Bei axialen und diagonalen Gleitspiegelebenen ist offensichtlich, dass der zweifache Translationsvektor wieder zu einem Gitterpunkt führt.

Typen in der Kristallographie

Bei axialen Gleitspiegelebenen ist der Translationsvektor jeweils die Hälfte eines Gittervektors, zum Beispiel 1/2 · a, 1/2 · b oder 1/2 · c. Die Hermann-Mauguin-Symbole dafür sind a, b und c.

Bei Diagonalgleitspiegelebenen ist der Translationsvektor eine halbe Summe von Gittervektoren, zum Beispiel 1/2(a + b), 1/2(b + c), 1/2(a + c) oder 1/2(a + b + c). Das Hermann-Mauguin-Symbol ist n.

Bei Diamantgleitspiegelebenen treten Viertel-Vektoren auf, zum Beispiel 1/4(-a ± b), 1/4(b ± c) oder 1/4(±a + c). Das Hermann-Mauguin-Symbol ist d. Diamantgleitspiegelebenen gibt es nur in orthorhombisch F-zentrierten, tetragonal I-zentrierten sowie kubisch I- und F-zentrierten Bravaisgittern. Der doppelte Translationsvektor ergibt dabei den Vektor, der die Zentrierung beschreibt.