Kreisspiegelung

Grundidee und Definition

Die Kreisspiegelung oder Spiegelung am Kreis ist eine Abbildung der ebenen Geometrie. Sie vertauscht das Innere und das Äußere eines festgelegten Kreises. Dieser heißt Inversionskreis; sein Mittelpunkt M heißt Inversionszentrum, sein Radius R Inversionsradius. Sie ist der ebene Fall einer geometrischen Inversion. Im Raum entspricht ihr die Kugelspiegelung.

Für einen Punkt P ungleich M liegt sein Bildpunkt P′ auf derselben Halbgeraden von M durch P. Seine Entfernung vom Zentrum ist durch

|MP′| = R² / |MP|

festgelegt, also äquivalent |MP| · |MP′| = R². Der Mittelpunkt M selbst hat dabei keinen Bildpunkt in der gewöhnlichen Ebene. Man kann stattdessen einen zusätzlichen Punkt zur Ebene hinzufügen und M auf diesen Punkt abbilden; dessen Bildpunkt ist wiederum M.

Koordinaten und wesentliche Eigenschaften

Liegt das Inversionszentrum bei (x₀,y₀), so wird (x,y) ≠ (x₀,y₀) abgebildet auf

(x′,y′) = (x₀,y₀) + R²(x−x₀,y−y₀) / ((x−x₀)²+(y−y₀)²).

In Polarkoordinaten gilt besonders einfach (r,φ) → (R²/r,φ); am Einheitskreis lautet dies (r,φ) → (1/r,φ). In der komplexen Ebene beschreibt z ↦ 1/\overline{z} die Inversion am Einheitskreis. Für einen Kreis um c mit Radius R gilt z′ = c + R²/\overline{z−c}.

Punkte auf dem Inversionskreis sind Fixpunkte. Zweimaliges Invertieren liefert den Ausgangspunkt; die Abbildung ist daher eine Involution. Sie ist konform, also winkeltreu: Berührungen bleiben Berührungen. Zugleich kehrt sie wie eine Geradenspiegelung die Orientierung um und ist keine Kongruenzabbildung, erhält also nicht allgemein Längen und Größen. Die Verknüpfung zweier Inversionen an konzentrischen Kreisen ist eine orientierungserhaltende zentrische Streckung.

Abstände werden reziprok verändert: Hat ein Punkt den q-fachen Abstand vom Zentrum wie ein anderer, so hat sein Bild den 1/q-fachen Abstand. Für P, sein Bild P′ und die Schnittpunkte A, B der Geraden PP′ mit dem Inversionskreis bilden P, A, P′, B eine harmonische Teilung. Sind A′ und B′ die Bilder von A und B, so sind △MAB und △MB′A′ spiegelbildlich ähnlich; entsprechende Seiten haben den Streckfaktor R²/(|MA|·|MB|). Insbesondere gilt ∠MAB = ∠A′B′M.

Bilder von Geraden und Kreisen

Geraden durch das Inversionszentrum werden auf sich selbst abgebildet. Jede andere Gerade wird zu einem Kreis durch das Inversionszentrum; dessen Tangente im Zentrum ist parallel zur ursprünglichen Geraden. Liegt D′ als Fußpunkt des Zentrums auf der Geraden im Abstand L = |MD′|, dann ist D sein Bildpunkt und der Durchmesser des Bildkreises erfüllt

d = |MD| = R²/L.

Umgekehrt werden Kreise durch das Inversionszentrum auf Geraden abgebildet, die nicht durch dieses Zentrum gehen. Kreise, die nicht durch das Inversionszentrum gehen, bleiben Kreise. Dabei wird der Mittelpunkt des ursprünglichen Kreises im Allgemeinen nicht auf den Mittelpunkt des Bildkreises abgebildet. Kreise, die den Inversionskreis rechtwinklig schneiden, werden auf sich selbst abgebildet.

Hat ein zu spiegelnder Kreis Mittelpunkt (x,y) und Radius r, dann besitzt sein Bild den Mittelpunkt (x′,y′) = (x₀,y₀) + s(x−x₀,y−y₀) und den Radius r′ = |s|r, wobei

s = R² / ((x−x₀)²+(y−y₀)²−r²).

Der Nenner ist die Potenz des Inversionszentrums bezüglich des Kreises. Die Abbildung lässt sich dabei als zentrische Streckung um das Inversionszentrum auffassen; bei s < 0 folgt zusätzlich eine Drehung um 180°.

Geometrische Konstruktionen

Punkte, Geraden und Kreise können mit Zirkel und Lineal konstruktiv gespiegelt werden. Liegt ein Punkt P auf dem Inversionskreis, gilt sofort P′ = P. Für andere Punkte liefern beispielsweise Tangentenkonstruktionen den Bildpunkt: Liegt P außerhalb des Kreises, konstruiert man die beiden Tangenten von P an den Inversionskreis; die Verbindung ihrer Berührpunkte schneidet die Halbgerade [MP im gesuchten P′. Für Punkte im Kreisinneren wird zunächst eine zu [MP senkrechte Sehne durch P verwendet; die Tangenten in ihren Endpunkten schneiden sich in P′. Der Beweis folgt aus dem Kathetensatz.

Eine weitere Konstruktion nutzt einen Kreis um P durch M: Schneidet dieser den Inversionskreis in N, dann schneidet der Kreis um N durch M die Gerade MP ein zweites Mal in P′. Dies folgt aus der Ähnlichkeit △PNM ∼ △NMP′. Auch Konstruktionen mit Winkelhalbierenden oder nur mit Lineal und dem vorgegebenen Inversionskreis werden beschrieben.

Nach dem Satz von Mohr-Mascheroni lassen sich alle mit Zirkel und Lineal möglichen Konstruktionen auch mit Zirkel allein ausführen. Für P außerhalb des Inversionskreises zeichnet man dazu um P einen Kreis durch M. Seine Schnittpunkte mit dem Inversionskreis dienen als Mittelpunkte zweier weiterer Kreise durch M; deren zweiter Schnittpunkt ist P′. Für Punkte im Inneren gibt es Sonderverfahren, etwa für |MP| = R/2 mit |MP′| = 4·|MP|, sowie eine universelle Methode: Den Inversionsradius halbiert man so oft, bis der kleinere Kreis P nicht mehr enthält, invertiert P an diesem Kreis und verdoppelt anschließend den Abstand entsprechend oft.

Kurven und stereografische Projektion

Jede parametrisierte Kurve t ∈ U ⊆ ℝ ↦ (f(t),g(t)) kann punktweise gespiegelt werden. Ihre inverse Kurve hat die Darstellung

(x′,y′) = (x₀,y₀) + R²(f(t)−x₀,g(t)−y₀) / ((f(t)−x₀)²+(g(t)−y₀)²).

Als Beispiele werden Zuordnungen zwischen Spiralen genannt: Die logarithmische Spirale bleibt eine logarithmische Spirale, die Archimedische Spirale wird zur Fermatschen Spirale und die Fermatsche Spirale zur Lituus-Spirale. Außerdem können Parabeln zu Kardioiden oder zur Zissoide des Diokles sowie Hyperbeln zu Lemniskaten oder zur Trisektrix von Maclaurin werden.

Die stereografische Projektion liefert eine räumliche Deutung: Für Punkte P und Q auf einer Kugel sind ihre Projektionen P′ und Q′ in der Ebene genau dann inversiv bezüglich des Äquatorkreises, wenn P und Q Spiegelbilder an der Äquatorialebene sind. Wird ein Punkt P weder vom Nordpol N noch vom Südpol S projiziert, so sind die beiden Projektionen P′ und P″ vom jeweiligen Gegenpol aus inversive Bilder am Einheitskreis. Aus ähnlichen Dreiecken folgt P″O = R²/OP′.

Mechanische Hilfsmittel für die Inversion am Kreis sind der Inversor von Peaucellier, der Inversor von Hart und der Quadruplanar-Inversor.