Schrägspiegelung

Grundidee der Schrägspiegelung

Eine Schrägspiegelung ist eine Verallgemeinerung der Achsenspiegelung. Ein Punkt wird an einer Spiegelachse nicht zwingend rechtwinklig gespiegelt, sondern entlang einer vorgegebenen Richtung, die zum Beispiel durch einen Winkel oder einen Vektor festgelegt ist. Dazu zeichnet man durch den Punkt eine Gerade parallel zum Richtungsvektor, bestimmt ihren Schnittpunkt mit der Achse und spiegelt den Punkt über diesen Schnittpunkt.

Die gewöhnliche Achsenspiegelung ist der Sonderfall, bei dem die vorgegebene Richtung senkrecht zur Spiegelachse ist.

Fixpunkte und Eigenschaften

Alle Fixpunkte liegen auf der Spiegelachse. Sie ist damit die einzige Fixpunktgerade, also die einzige Gerade, deren Punkte bei der Abbildung an ihrem Ort bleiben. Außerdem sind alle Geraden, die parallel zum vorgegebenen Richtungsvektor verlaufen, Fixgeraden.

Schrägspiegelungen sind geraden- und flächentreu: Geraden werden wieder auf Geraden abgebildet, und Flächeninhalte bleiben erhalten. Bei einer nicht senkrechten Spiegelrichtung sind sie jedoch weder winkel- noch längentreu. Deshalb sind sie zwar flächentreue affine Abbildungen, im Allgemeinen aber keine Kongruenzabbildungen; geometrische Figuren erscheinen verzerrt.

Bilder geometrischer Figuren

Unter einer Schrägspiegelung werden Kreise, Rechtecke und Quadrate im Allgemeinen nicht wieder zu Kreisen, Rechtecken beziehungsweise Quadraten. Kreise können zu Ellipsen werden; Rechtecke und Quadrate können zu Parallelogrammen werden.

Schrägspiegelungen sind nicht nur in der Ebene möglich, sondern auch im dreidimensionalen Raum und in höherdimensionalen Räumen.

Verkettung zweier Schrägspiegelungen

Die Verkettung, also das nacheinander Ausführen, zweier verschiedener Schrägspiegelungen an derselben Geraden g ergibt eine Scherung.