Fixpunkt (Mathematik)

Grundidee und Definition

Ein Fixpunkt ist in der Mathematik ein Punkt, der durch eine gegebene Abbildung auf sich selbst abgebildet wird. Das bedeutet: Wendet man die Funktion auf diesen Punkt an, bleibt der Punkt unverändert. Anschauliche Beispiele sind die Fixpunkte einer Achsenspiegelung: Das sind genau die Punkte auf der Spiegelachse. Eine Punktspiegelung hat dagegen nur einen Fixpunkt, nämlich ihr Zentrum.

Formal gilt: Sei X eine Menge und f: X -> X eine Funktion. Ein Punkt x aus X heißt Fixpunkt, wenn er die Gleichung f(x) = x erfüllt. Die Gleichung f(x) = x nennt man Fixpunktgleichung.

Zusammenhang mit Gleichungen und linearen Abbildungen

Bei einer linearen Abbildung f: X -> X auf einem Vektorraum X nennt man Fixpunkte auch Fixvektoren. Der Nullvektor ist immer ein Fixvektor, weil jede lineare Abbildung den Nullvektor auf sich selbst abbildet. Gibt es außer dem Nullvektor weitere Fixvektoren, dann sind sie Eigenvektoren von f zum Eigenwert 1.

Für eine nichtlineare Abbildung ist die zugehörige Fixpunktgleichung ein Beispiel für eine nichtlineare Gleichung. Jede Fixpunktgleichung f(x) = x kann in eine Nullstellengleichung g(x) = 0 umgeschrieben werden, zum Beispiel mit g(x) = f(x) - x. Umgekehrt kann jede Nullstellengleichung g(x) = 0 in eine Fixpunktgleichung f(x) = x überführt werden, etwa mit f(x) = x + g(x). Dadurch können Verfahren zum Lösen der einen Gleichungsform zumindest theoretisch auch für die andere Gleichungsform verwendet werden.

Stabilität und numerische Iteration

In der Numerik ist wichtig, ob ein Fixpunkt stabil oder instabil ist. Ein Fixpunkt ist stabil, wenn für den Betrag der Ableitung im Fixpunkt |f'(x)| < 1 gilt. Er ist instabil, wenn |f'(x)| > 1 gilt. Stabil bedeutet hier: Eine kleine Störung wird beim wiederholten Anwenden der Funktion eher zum Fixpunkt zurückgeführt. Instabil bedeutet: Eine kleine Störung wird eher vom Fixpunkt weggeführt.

Eng verwandt ist das Problem der iterierten Abbildungen. Dabei startet man mit einem Anfangswert x_1 und berechnet schrittweise x_{n+1} = f(x_n). Man wendet also dieselbe Funktion immer wieder auf das Ergebnis des vorherigen Schritts an. Grafisch kann man sich vorstellen, dass man treppenartig zwischen dem Graphen der Funktion f(x) und der Diagonalen hin und her springt. Je nachdem, ob der Fixpunkt stabil oder instabil ist, bewegt sich die Folge zum Fixpunkt hin oder von ihm weg.

Fixpunkte in Ordnung und Topologie

Fixpunkte spielen auch in der Verbandstheorie eine Rolle. Ist (M, <=) eine partielle Ordnung und f: (M, <=) -> (M, <=) eine ordnungserhaltende Abbildung, dann betrachtet man die Menge aller Fixpunkte Fix(f). Diese Menge ist eine Teilmenge von M und wird selbst durch <= geordnet. Eine wichtige Frage ist, welche Eigenschaften die geordnete Menge (Fix(f), <=) hat. Ein Hauptresultat ist der Fixpunktsatz von Tarski und Knaster, mit dem man auch den Satz von Cantor-Bernstein-Schröder beweisen kann.

In der Topologie gibt es die Fixpunkteigenschaft. Ein topologischer Raum X besitzt diese Eigenschaft, wenn jede stetige Abbildung f: X -> X einen Fixpunkt hat. Die Sphäre S^n besitzt die Fixpunkteigenschaft nicht, denn die Punktspiegelung am Mittelpunkt hat keinen Fixpunkt. Eine Vollkugel D^n besitzt dagegen die Fixpunkteigenschaft; dies besagt der Fixpunktsatz von Brouwer.

Wichtige Fixpunktsätze

Mehrere zentrale mathematische Sätze untersuchen, wann Fixpunkte existieren und welche Eigenschaften sie haben. Der Banachsche Fixpunktsatz besagt, dass eine Kontraktion eines vollständigen metrischen Raumes genau einen Fixpunkt besitzt. Eine Kontraktion ist dabei eine Abbildung, die Abstände in geeigneter Weise verkleinert.

Wenn eine Selbstabbildung nur stetig ist, muss ein Fixpunkt nicht eindeutig sein. Andere Fixpunktsätze zeigen dann oft nur die Existenz eines Fixpunktes und stellen dafür stärkere Anforderungen an den Raum. Der Fixpunktsatz von Schauder zeigt die Existenz eines Fixpunktes in einer kompakten, konvexen Teilmenge eines Banachraums. Er verallgemeinert den Fixpunktsatz von Brouwer. Der Fixpunktsatz von Brouwer besagt, dass jede stetige Abbildung der abgeschlossenen Einheitskugel in sich selbst einen Fixpunkt besitzt. Im Unterschied zu Schauder und Banach gilt Brouwers Satz nur in endlichdimensionalen Räumen, also im R^n oder im C^n.

Der Fixpunktsatz von Banach ist auch für die Numerik wichtig: Er liefert nicht nur die Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunktes, sondern auch die Konvergenz und eine Fehlerabschätzung der Fixpunkt-Iteration x_{n+1} = f(x_n). Dadurch ergibt sich ein konkretes Verfahren zur Berechnung von Fixpunkten.

Typische Beispiele

Die Parabelfunktion f: R -> R mit f(x) = x^2 hat zwei Fixpunkte: 0 und 1. Der Fixpunkt 0 ist stabil, der Fixpunkt 1 ist instabil.

Ist V ein Vektorraum und Id: V -> V die identische Abbildung mit Id x = x, dann ist jedes x aus V ein Fixpunkt beziehungsweise Fixvektor.

Ein weiteres Beispiel stammt aus der Analysis: Sei S der Schwartz-Raum und F: S -> S die kontinuierliche Fourier-Transformation. Für die Dichtefunktion phi(x) = 1/({sqrt(2pi)}^n) * e^{-1/2 x^2} der n-dimensionalen Normalverteilung gilt F(phi) = phi. Daher ist diese Dichtefunktion ein Fixpunkt der Fourier-Transformation.

Auch das Newton-Verfahren lässt sich als Fixpunktverfahren ausdrücken. Die Iteration x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n) entspricht der Fixpunktgleichung g(x) = x - f(x)/f'(x).