Spiegelung (Darstellende Geometrie)

Grundprinzip der Spiegelung

Die Spiegelung an einer Ebene, also an einem Spiegel, ist ein Verfahren der darstellenden Geometrie. Sie macht Zeichnungen realistischer und attraktiver, etwa bei einer Wasseroberfläche oder einem Wandspiegel. Physikalische Grundlage ist das Reflexionsgesetz: Einfallswinkel = Ausfallswinkel.

Für die Konstruktion wird ein reflektierter Lichtstrahl so behandelt, als käme er von einem Punkt Pₛ. Dieser liegt auf dem Lot durch den Objektpunkt P, hat von der Spiegelebene denselben Abstand wie P und befindet sich auf deren anderer Seite. Pₛ ist der zu P gespiegelte Punkt; entsprechend kann ein ganzes Objekt, etwa ein Haus oder Quader, gespiegelt werden.

Konstruktiv entsteht Pₛ durch Punktspiegelung von P am zugehörigen Lotfußpunkt Lₚ. Das Spiegelbild wird anschließend wie ein reales Objekt projiziert. Sind Grund- und Aufriss eines Objekts vorhanden, lassen sich dort zunächst die Spiegelungen einzeichnen und danach mit üblichen Verfahren wie Axonometrie, Einschneideverfahren, Architektenanordnung oder Frontalperspektive ein Bild konstruieren. Schwieriger ist es, Spiegelbilder nachträglich in bereits vorhandene Projektionsbilder einzufügen, besonders bei geneigten Spiegeln.

Spiegelung in Parallelprojektionen

In einer Parallelprojektion ist die Konstruktion eines gespiegelten Punktes oder Objekts vergleichsweise einfach. Voraussetzung ist, dass die Spiegelebene im Bild durch Grund- und Aufrissspuren festgelegt ist und ihre Normalenrichtung bekannt ist.

Beim Beispiel eines Hauses in Kavalierprojektion, einer schiefen Axonometrie, liegt die horizontale Spiegelebene als Wasseroberfläche eine halbe Einheit unter der Unterkante des Hauses. Ihre Normalenrichtung ist die z-Richtung. Eine senkrechte Spiegelebene kann parallel zur x-z-Ebene im Abstand 1/2 Einheit liegen; ihre Normale weist dann in y-Richtung. Über die bekannte Normalenrichtung werden Objektpunkte im passenden Abstand auf die andere Seite der Ebene übertragen.

Grundregel in Zentralprojektionen

Bei der Zentralprojektion wirken gleich lange Strecken auf derselben Geraden im Allgemeinen unterschiedlich lang. Daher ist die Spiegelkonstruktion deutlich schwieriger als bei der Parallelprojektion. Zwar liegt auch hier das Spiegelbild Pₛ eines Punktes auf dem Lot zur Spiegelebene, doch seine Bildlage muss mit Hilfsgeraden bestimmt werden.

Für eine Gerade g, deren Spurpunkt S_g und Fluchtpunkt F_g im perspektivischen Bild bekannt sind, lässt sich die gespiegelte Gerade gₛ konstruieren. In der vereinfachten Betrachtung ist die Spiegelebene die Standebene mit Spur s und Ferngerade h, dem Horizont. Spur und Fluchtgerade einer Ebene sind im perspektivischen Bild stets parallel.

Der Fluchtpunkt F_gs der gespiegelten Geraden entsteht durch Spiegelung von F_g an der Fluchtgeraden h. Der Spurpunkt S_gs entsteht durch Spiegelung von S_g an der Spurgeraden s. Diese Regel gilt auch bei anderen Spiegelebenen. In den Beispielen steht die Bildtafel senkrecht; erkennbar ist dies daran, dass der Hauptpunkt H auf dem Horizont h liegt.

Turm an einer Wasseroberfläche

Bei einem Turm an einem Fluss ist die Spiegelebene horizontal. Ihre Fluchtgerade ist deshalb der Horizont h, ihre Spurgerade heißt s_w. Für Turmpunkte werden horizontale Tiefenlinien als Hilfsgeraden gewählt. Deren Fluchtpunkt ist der Hauptpunkt und bleibt bei der Spiegelung an h unverändert. Die jeweiligen Spurpunkte werden dagegen an s_w gespiegelt.

Die Turmspitze liegt in der Bildtafel und kann deshalb direkt gespiegelt werden. Der braun dargestellte Uferrand liegt auf Höhe der Standebene; das Ufer fällt schräg zum Wasser ab. Weil der Uferrand horizontal ist, bleibt auch sein Fluchtpunkt F_w beim Spiegeln fest. Nur sein Spurpunkt wird verschoben.

Zimmer mit Wandspiegel

Bei einem senkrechten Wandspiegel helfen zwei Eigenschaften: Eine zum Spiegel parallele Strecke und ihre gespiegelte Strecke bilden ein Rechteck. Dessen Diagonalen schneiden sich auf der Spiegelebene, also auf der Schnittstrecke des Rechtecks mit dem Spiegel, und halbieren diese Mittelstrecke. Außerdem wird bei einer Zentralprojektion der Mittelpunkt einer zur Bildtafel parallelen Strecke auf den Mittelpunkt der Bildstrecke abgebildet. Für Strecken, die nicht parallel zur Bildtafel sind, gilt dies nicht.

Damit wird das Spiegelbild einer senkrechten Türkante P̄Q̄ konstruiert. Zuerst zeichnet man die Verbindungsgeraden zum Fluchtpunkt F_n der Normalen der Spiegelebene. F_n ist zugleich der rechte Fluchtpunkt der horizontalen Zimmerkanten. Dann bestimmt man M̄ als Mittelpunkt der beiden Punkte L̄_P und L̄_Q, also der Bilder der Lotfußpunkte auf dem Spiegel. Die Gerade Q̄M̄ schneidet die Gerade P̄F_n im Punkt P̄ₛ, dem gespiegelten Bildpunkt.