Bild (Mathematik)

Bedeutung und Definition

Bei einer Funktion f ist das Bild, die Bildmenge oder der Bildbereich einer Teilmenge M des Definitionsbereichs die Menge aller Werte aus der Zielmenge Y, die f auf M tatsächlich annimmt. Es beschreibt also, welche Ergebnisse durch die betrachteten Eingaben erreicht werden.

Für f: X → Y und M ⊆ X gilt:

f(M) := {f(x) | x ∈ M} ⊆ Y.

Das Bild der gesamten Funktion ist das Bild ihrer Definitionsmenge:

Bild(f) := f(X).

Die Wörter Wertemenge und Wertebereich werden häufig ebenfalls verwendet; bei manchen Autoren bezeichnen sie jedoch die ganze Zielmenge Y und nicht nur die tatsächlich angenommenen Werte.

Schreibweisen

Bildmengen werden gewöhnlich in Mengenschreibweise angegeben, zum Beispiel Bild(f) = {A, B, D}.

Die Schreibweise f(M) kann mehrdeutig sein, wenn M zugleich Teilmenge von X und Element von X ist: Sie kann dann das Bild der Menge M oder den Funktionswert am Element M meinen. Manche Autoren schreiben deshalb f[M] für die Bildmenge; gelegentlich kommt auch f''M vor. Für Bild(f) ist außerdem im(f) gebräuchlich, nach dem englischen Wort image.

Typische Bilder von Funktionen

Für f: ℤ → ℤ mit f(z) := z² können verschiedene Eingabemengen dieselbe Bildmenge haben:

• f({1, 2, 3}) = {1, 4, 9}
• f({−3, −2, −1}) = {1, 4, 9}
• f({−3, −2, −1, 1, 2, 3}) = {1, 4, 9}

Das Bild dieser Funktion ist die Menge der Quadratzahlen:

Bild(f) = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …}.

Weitere Beispiele:

• sin(ℝ) = [−1, 1]. Die Sinusfunktion nimmt jeden Wert dieses Intervalls unendlich oft an.
• exp(ℝ) = ℝ⁺ = {x ∈ ℝ | x > 0}. Die Exponentialfunktion nimmt jeden positiven Wert genau einmal an.
• Für f: ℝ → ℝ, x ↦ x², gilt f(ℝ) = ℝ₀⁺ = {x ∈ ℝ | x ≥ 0}. Die 0 wird genau einmal, jeder andere Wert des Bildes genau zweimal angenommen.

Für die lineare Abbildung f: ℝ² → ℝ², f(x) := Ax, mit A = ((a₁,₁, a₁,₂), (0, 0)) ≠ ((0, 0), (0, 0)), gilt:

Bild(f) = {(y₁, 0)ᵀ | y₁ ∈ ℝ}.

Das Bild ist also die x₁-Achse. Der verschwundene Teil, hier die x₂-Achse, heißt Kern der Abbildung.

Wichtige Eigenschaften und Strukturen

Für f: X → Y sowie M, N ⊆ X gelten:

• f(∅) = ∅.
• Aus M ⊆ N folgt f(M) ⊆ f(N).
• f ist genau dann surjektiv, wenn Bild(f) = Y. Surjektiv bedeutet: Jeder Wert der Zielmenge wird mindestens einmal erreicht.
• f(M ∪ N) = f(M) ∪ f(N).
• f(M ∩ N) ⊆ f(M) ∩ f(N). Ist f injektiv, gilt Gleichheit. Injektiv bedeutet: Verschiedene Eingaben haben verschiedene Funktionswerte.

Die Aussagen zu Vereinigung und Durchschnitt lassen sich auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern; die Gleichheit beim Durchschnitt und bei Injektivität gilt dabei nur für nichtleere Familien.

Bei strukturerhaltenden Abbildungen trägt die Bildmenge meist ebenfalls eine passende Struktur und wird dann oft Bild oder Bildraum genannt. Das Bild eines Gruppenhomomorphismus ist eine Untergruppe der Zielgruppe. Bei topologischen Räumen erhält das Bild die Quotiententopologie, sodass die Abbildung stetig wird. In der Maßtheorie werden Maße mit dem Bildmaß auf einen Bildraum übertragen.