Periodische Funktion

Grundidee und Definition

Periodische Funktionen sind Funktionen, deren Funktionswerte sich in regelmäßigen Abständen wiederholen. Sie sind wichtig, weil sie wiederkehrende Vorgänge beschreiben, etwa mechanische, elektrische oder akustische Schwingungen. Eine Periode wird deshalb häufig mit T für „Time“ bezeichnet. Nichtperiodische Funktionen heißen manchmal ausdrücklich aperiodisch.

Für eine Funktion f mit Definitionsbereich 𝒟_f ⊆ ℝ heißt eine reelle Zahl T Periode, wenn für jedes x ∈ 𝒟_f gilt:

• x + T ∈ 𝒟_f, • f(x + T) = f(x).

Eine Funktion ist periodisch, wenn sie mindestens eine Periode T ≠ 0 besitzt; man nennt sie dann T-periodisch. Für 𝒟_f = ℝ ist die erste Bedingung automatisch erfüllt. Die Einbeziehung des Definitionsbereichs ermöglicht auch periodische Funktionen mit regelmäßig wiederkehrenden Lücken, beispielsweise die Tangensfunktion.

Kennt man den Verlauf einer periodischen Funktion während einer vollständigen Periode, ist damit ihr gesamter Verlauf bestimmt. Nichttrigonometrische periodische Funktionen werden deshalb häufig zunächst auf einem Grundintervall festgelegt und anschließend periodisch fortgesetzt.

Perioden und typische Beispiele

Mit jeder Periode T sind weitere Perioden verbunden:

• Ist T eine Periode, dann ist auch −T eine Periode. • Sind T₁ und T₂ Perioden, dann ist jede Zahl k₁T₁ + k₂T₂ mit k₁, k₂ ∈ ℤ ebenfalls eine Periode.

Insbesondere ist jedes ganzzahlige Vielfache einer Periode wieder eine Periode. Mit „der Periode“ meint man meistens die kleinste positive Periode. Sie existiert für jede nichtkonstante, stetige periodische Funktion. Besitzt f eine kleinste positive Periode T, sind sämtliche Perioden von f ganzzahlige Vielfache von T. Gibt es keine kleinste positive Periode, ist die Menge der Perioden dicht in ℝ. Eine konstante Funktion auf ℝ ist beispielsweise mit jeder beliebigen Zahl ungleich 0 periodisch und besitzt daher keine kleinste positive Periode.

Die Sinusfunktion ist auf ganz ℝ definiert und hat die kleinste positive Periode 2π. Sie ist damit zugleich beispielsweise 4π-periodisch. Die Tangensfunktion besitzt den Definitionsbereich ℝ ∖ {kπ + π/2 | k ∈ ℤ} und die Periode π. Obwohl tan x = sin x / cos x ein Quotient zweier 2π-periodischer Funktionen ist, beträgt seine kleinste positive Periode also nicht 2π.

Summen von Sinus- und Kosinusfunktionen, die eine gemeinsame Periode T besitzen, sind ebenfalls periodisch. Das ist eine Grundlage der Fourierreihen. Haben zwei Funktionen keine gemeinsame Periode, muss ihre Summe dagegen nicht periodisch sein. So ist f(x) = sin x + sin(πx) nicht periodisch.

Periodische Fortsetzung

Bei der direkten periodischen Fortsetzung wird eine auf einem Grundintervall gegebene Funktion um ganzzahlige Vielfache der Intervalllänge verschoben. Ist f₀ auf [a,b] definiert und gilt f₀(a) = f₀(b), erhält man auf ganz ℝ die Funktion

f(x) = f₀(x − ⌊(x−a)/T⌋ · T), x ∈ ℝ,

mit der Periode T = b − a. Dabei bezeichnet ⌊·⌋ die Abrundungsfunktion. Sie sorgt dafür, dass f₀ nur an Stellen aus ihrem ursprünglichen Definitionsbereich ausgewertet wird.

Für den Parabelbogen f₀(x) = (x−1)(4−x) auf [1,4] ist T = 3. Beispielsweise ergibt sich

f(8) = f₀(8 − ⌊7/3⌋ · 3) = f₀(8−2·3) = f₀(2) = 2.

Für Fourierreihen sind gerade und ungerade Fortsetzungen besonders nützlich. Sei f₀ auf [0,b] definiert und für die ungerade Fortsetzung zusätzlich f₀(0) = f₀(b) = 0. Zunächst setzt man die Funktion auf [−b,b] fort:

fᵤ(x) = f₀(x) für 0 ≤ x ≤ b, fᵤ(x) = −f₀(−x) für −b ≤ x < 0.

Die anschließende direkte periodische Fortsetzung ergibt eine ungerade Funktion auf ℝ mit der Periode T = 2b. Für die gerade Fortsetzung verwendet man stattdessen

f_g(x) = f₀(x) für 0 ≤ x ≤ b, f_g(x) = f₀(−x) für −b ≤ x < 0.

Auch daraus entsteht nach direkter Fortsetzung eine periodische Funktion mit T = 2b.

Fourierreihen

Unter bestimmten Voraussetzungen kann eine periodische Funktion als Reihe aus Sinus- und Kosinusfunktionen entwickelt werden. Eine solche Fourierreihe soll die Funktion auf ganz ℝ durch Summen einfacher periodischer Funktionen darstellen oder annähern. Eine gerade periodische Funktion lässt sich ausschließlich mit Kosinustermen, eine ungerade ausschließlich mit Sinustermen darstellen.

Für eine 2π-periodische ungerade Funktion f hat die Fourierreihe die Form

∑ von k=1 bis ∞ b_k sin(kt),

wobei

b_k = (1/π) ∫ von −π bis π f(t) · sin(kt) dt für k ≥ 1.

Als Beispiel wird eine Funktion f₀ auf [0,π] betrachtet:

f₀(x) = x für 0 ≤ x ≤ π/2, f₀(x) = 2,5 für π/2 < x < π, f₀(π) = 0.

Sie wird ungerade zu einer 2π-periodischen Funktion fortgesetzt. Die Teilsumme mit n = 3 lautet

∑ von k=1 bis 3 b_k sin(kt) = (1/π)(7 sin x + (π/2−5) sin 2x + 13/9 sin 3x).

Teilsummen der Längen n = 3, 6 und 12 zeigen, wie die Näherung mit zunehmender Anzahl von Termen verändert wird. Die Ausgangsfunktion besitzt Sprungstellen und ist daher unstetig; jede endliche Teilsumme ist als Summe von Sinustermen dagegen stetig. Anders als eine Potenzreihe, deren Partialsummen eine nichtpolynomiale Funktion auf einem beschränkten Intervall durch Polynome annähern, zielt die Fourierreihe auf eine Darstellung einer periodischen Funktion auf ganz ℝ.

Verallgemeinerungen und weitere Arten

Der Periodenbegriff gilt auch außerhalb reeller Funktionen. Sei G eine additive Halbgruppe, also eine Menge mit einer geeigneten Addition, M eine Menge und f: G → M. Existiert ein T ∈ G mit f(g+T) = f(g) für alle g ∈ G, heißt f periodisch mit Periode T.

Periodische Folgen sind ein Spezialfall: Eine reelle Folge (a_n){n∈ℕ} ist eine Funktion von ℕ nach ℝ. Sie heißt periodisch, wenn ein T existiert, sodass a{n+T} = a_n für alle n ∈ ℕ gilt.

Auch komplexe Funktionen können periodisch sein. Die Exponentialfunktion exp: ℂ → ℂ mit x ↦ eˣ ist 2πi-periodisch. Diese Eigenschaft tritt erst beim komplexen Definitionsbereich auf und lässt sich mit der eulerschen Formel beweisen.

Periodische Funktionen auf ℝ mit Periode T können außerdem als Funktionen auf dem Einheitskreis S¹ = {z ∈ ℂ | |z| = 1} aufgefasst werden. Einer Funktion f auf S¹ entspricht die T-periodische Funktion

x ↦ f(e^(2πix/T)).

Eigenschaften wie Beschränktheit, Stetigkeit und Differenzierbarkeit übertragen sich zwischen beiden Sichtweisen. Fourier-Reihen ∑{n∈ℤ} c_n e^(inωt) entsprechen dabei Laurent-Reihen ∑{n∈ℤ} c_n zⁿ.

Auf einem n-dimensionalen reellen Vektorraum V, etwa ℝⁿ, ist eine Periode einer stetigen reell- oder komplexwertigen Funktion ein Vektor γ ∈ V. Für den Definitionsbereich D muss gelten:

• x ∈ D genau dann, wenn x+γ ∈ D, • f(x+γ) = f(x) für alle x ∈ D.

Die Menge Γ aller Perioden ist eine abgeschlossene Untergruppe von V. Sie ist die direkte Summe eines Untervektorraums und einer diskreten Untergruppe; die diskrete Untergruppe besteht aus ganzzahligen Linearkombinationen linear unabhängiger Vektoren.

Für holomorphe Funktionen auf V = ℂ ergeben sich vier Fälle: Bei Γ = {0} ist f nicht periodisch. Bei Γ = ℤ·γ liegt gewöhnliche Periodizität vor, etwa für die Exponentialfunktion mit γ = 2πi. Enthält Γ einen nichttrivialen reellen Unterraum, ist die holomorphe Funktion insgesamt konstant. Bei Γ = ℤ·γ₁ + ℤ·γ₂ besitzt f zwei reell linear unabhängige Perioden; ist f auf der ganzen komplexen Ebene meromorph, heißt sie elliptische Funktion.