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Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens I musstewissen Mathe

musstewissen Mathe7:01 528.582 Aufrufe veröffentlicht Auf YouTube

Das Wichtigste aus dem Video

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Transkriptautomatisch erstellt · 57 Zeilen
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  1. Wie in jeder Sprache gibt es auch in der Mathematik Vokabeln, die man lernen muss.
  2. Die trigonometrischen Funktionen sind aber mehr als das. Es sind ganze Wörterbücher.
  3. In diesem Video zeige ich euch, wie man sie benutzt und eine Eselsbrücke, die ein bisschen gaga ist.
  4. Streit im Land der rechtwinkligen Dreiecke. Der Konflikt zwischen Seiten und Winkeln ist eskaliert.
  5. Die Friedensgespräche wurden vorübergehend abgebrochen. Wie so oft beginnen die Probleme schon bei der Verständigung.
  6. Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sprechen die Sprache des Pythagoras. Wenn wir zwei Seiten des Dreiecks kennen,
  7. können wir mit dem Satz des Pythagoras die dritte ausrechnen. Die Winkel sprechen die Sprache des Winkelsummensatzes.
  8. Das heißt, wenn wir α kennen, können wir β ausrechnen und umgekehrt. So weit, so gut. Aber fehlt da nicht was?
  9. Wenn wir zwei Seiten kennen, liegen die Winkel auch fest. Es sollte also auch eine Möglichkeit geben,
  10. aus den Seiten die Winkel zu berechnen und umgekehrt. Kurz gesagt: Wir brauchen etwas, das Winkel in Seiten übersetzt.
  11. Und umgekehrt. Eine Art Wörterbuch. Schauen wir uns das Dreieck aus Sicht des Winkels α mal genauer an.
  12. Die Seiten a, b und c können natürlich auch anders heißen. Besser sind die Begriffe, die ihr vom Satz des Pythagoras kennt:
  13. Wenn ihr das noch mal wiederholen wollt, gibt es auch ein Video von uns dazu. Vom Standpunkt des Winkels α aus
  14. sehen die beiden Katheten unterschiedlich aus. Die eine liegt dem Winkel gegenüber,
  15. sie heißt daher Gegenkathete. Die andere liegt an dem Winkel an.
  16. Das ist die Ankathete. Eine Kathete ist also nie an sich eine Gegen- oder Ankathete,
  17. es kommt immer darauf an, auf welchen Winkel man sich bezieht. Erst mit Blick auf einen der spitzen Winkel im Dreieck
  18. kann man sagen, ob eine Kathete gegenüber oder anliegt. Für den anderen spitzen Winkel im Dreieck,
  19. also in unserem Beispiel für β, sind die Rollen von Gegen- und Ankathete vertauscht.
  20. Leider können wir allein mit dem Winkel α nicht sagen, wie lange die Seiten des Dreiecks sind,
  21. denn α legt die Seite nicht fest. Das sehen wir hier.
  22. Wir können den Winkel beibehalten und trotzdem das Dreieck beliebig vergrößern oder verkleinern.
  23. Was sich dabei allerdings nicht ändert, sind die Verhältnisse der Seitenlängen. Wenn zum Beispiel die Hypotenuse doppelt so lang ist wie die Gegenkathete,
  24. dann bleibt das auch beim Vergrößern so. Für Experten: Das kann man sich auch mit den Strahlensätzen überlegen.
  25. Der Winkel α legt also die Verhältnisse der drei Seiten fest. Die sechs Möglichkeiten, Verhältnisse zu bilden,
  26. bekommen deshalb eigene Namen: Sinus, Kosinus, Tangens und so weiter.
  27. Was, das muss ich mir alles merken? Keine Panik. Wenn man genau hinsieht, sind die letzten drei die Kehrwerte der ersten drei.
  28. Das heißt, man kommt prima ohne sie aus. Den Kotangens brauchen wir allerdings für die Eselsbrücke,
  29. die ich euch versprochen habe. Und diese Eselsbrücke ist: Die Gaga-Hühner-Hof-AG.
  30. Klingt nach Quatsch, ist aber total genial. Wenn ihr Gaga-Hühner-Hof-AG so schreibt, ...
  31. ... dann stehen da genau die Brüche für Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens in dieser Reihenfolge.
  32. Tangens ist G durch A also Gegenkathete durch Ankathete und Cotangens ist Tangens umgedreht, also A durch G,
  33. sprich Ankathete durch Gegenkathete. Das ist die Theorie, aber wie rechnet man jetzt damit?
  34. Ein Beispiel: Wir haben hier ein rechtwinkliges Dreieck. Das ist die Voraussetzung.
  35. Kein rechtwinkliges Dreieck, kein GAGA. Die trigonometrische Funktion, in der Gegenkathete und Ankathete vorkommen,
  36. ist der Tangens. Wir schreiben also:
  37. Den Tangens von etwas verrät uns ganz einfach unser Taschenrechner. Tangens von 41 Grad ergeben gerundet 0.87.
  38. Fertig! Gar nicht so schwer, oder? Zumal der Taschenrechner das Schwierigste übernimmt.
  39. Wie sieht es mit der Hypotenuse aus? Zu Hypotenuse und Ankathete passt der Kosinus.
  40. Und noch ein Beispiel, bei dem der Winkel gesucht wird. Gegeben sind die Gegenkathete und die Hypotenuse von Alpha.
  41. Also jetzt geht's um den Sinus. Auf eurem Taschenrechner findet ihr jetzt das Symbol Sinus hoch -1.
  42. Bei den meisten Taschenrechnern aktiviert man das mit den Tasten, wo INV oder 2ND draufsteht, bevor man auf die Sinustaste drückt.
  43. Rechnet das mal selbst nach und falls ihr feststellen solltet: "Hä? Da kommen ja komplett andere Werte raus."
  44. Dann schaut mal nach, ob euer Taschenrechner gerade auf Gradmaß oder Bogenmaß eingestellt ist.
  45. Als Test könnt ihr auch den Tangens von 45 eingeben. Wenn das Ergebnis 1 ist, dann seid ihr im Gradmaß.
  46. Wenn nicht, dann müsst ihr das umstellen, dann seid ihr nämlich im Bogenmaß.
  47. Die trigonometrischen Funktionen reagieren sehr empfindlich auf eine falsche Einstellung.
  48. Zum Thema Bogenmaß haben wir übrigens auch noch ein eigenes Video. Ich würde sagen, jetzt reicht's aber langsam auch.
  49. Jetzt habt ihr nicht nur ein paar neue Fachvokabeln, sondern direkt auch drei dicke Wörterbücher zur Hand.
  50. Sinus, Kosinus und Tangens. Damit könnt ihr die Sprache der Winkel
  51. in die Sprache der Seitenlängen übersetzen und umgekehrt. Übrigens, seit dem Mittelalter haben erst indische, dann arabische, persische
  52. und zuletzt auch europäische Wissenschaftler tatsächlich jahrhundertelang mit riesigen Nachschlagewerken gearbeitet,
  53. mit Tabellen, in denen möglichst genaue Werte der trigonometrischen Funktion für möglichst viele verschiedene Winkelgrößen aufgelistet waren.
  54. Dank des Taschenrechners geht das heute alles per Knopfdruck. Also seid dankbar für eure Taschenrechner.
  55. Wenn ihr noch andere Eselsbrücken für die trigonometrischen Funktionen kennt, dann schreibt sie einfach als Kommentare unter dieses Video.
  56. Über weitere Fragen, Anregungen oder einen Daumen nach oben freuen wir uns natürlich auch. Bis bald, tschüss.
  57. Untertitel im Auftrag vom ZDF für funk, 2017

Zum Nachlesen

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