Welle

Grundidee und Bedeutung

In der Physik ist eine Welle die räumliche Ausbreitung einer örtlichen Erregung, also einer Abweichung vom Ruhezustand, ohne dass dabei Materie mittransportiert wird. Erregungen können zum Beispiel Änderungen des Drucks, der Dichte, der Höhe einer Wasseroberfläche oder eines elektrischen beziehungsweise magnetischen Feldes sein. Die Erregung wird von jedem Ort auf die angrenzende Umgebung übertragen und von dort weitergegeben. Dabei werden Energie und Impuls, aber keine Materie übertragen.

Mechanische Wellen benötigen ein materielles Medium. Beispiele sind Schallwellen, Wasserwellen und Wellen auf einem Seil. Elektromagnetische Wellen, Materiewellen und Gravitationswellen können sich dagegen auch im Vakuum ausbreiten.

Wird eine Welle über längere Zeit durch eine periodische Schwingung angeregt, schwingen die Erregungswerte an allen erreichten Orten mit derselben Frequenz. Entlang der Ausbreitungsrichtung tritt jedoch eine zunehmende Phasenverzögerung auf. Die Erregungswerte bilden dadurch häufig eine mehr oder weniger sinusförmige Wellenlinie. Diese bewegt sich als Ganzes und im Idealfall ohne Formänderung mit der Phasengeschwindigkeit durch den Raum.

Wellentypen und Ausbreitungsrichtungen

Mechanische Wellen werden nach der Bewegungsrichtung der Materieteilchen im Vergleich zur Ausbreitungsrichtung eingeteilt.

• Longitudinalwellen oder Längswellen schwingen parallel zur Ausbreitungsrichtung. Sie sind mechanische Druckwellen: Zonen mit erhöhtem und verringertem Druck pflanzen sich fort. Bei Verdichtung und Verdünnung bewegen sich Atome oder Moleküle des Mediums in Ausbreitungsrichtung um den Betrag der Amplitude hin und her. Bei Druckschwankungen durch zeitlich veränderliche Wärmezufuhr gibt es keine bestimmte Schwingungsrichtung, die Wellenerscheinung ist jedoch dieselbe. Schall breitet sich in Gasen und Flüssigkeiten immer als Longitudinalwelle aus. Die Leistung einer Longitudinalwelle ist proportional zum Quadrat der Amplitude beziehungsweise der Druckspannung. Im gleichen festen Medium sind Longitudinalwellen bei ansonsten gleichen Parametern schneller als entsprechende Transversalwellen.

• Transversalwellen, auch Quer-, Schub- oder Scherwellen genannt, schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Nur Transversalwellen können polarisiert sein. Beispiele sind elektromagnetische Wellen, Gravitationswellen, Biegewellen und Plasmawellen. Schallwellen in Festkörpern und seismische Wellen können sich bei geeigneter Materialbeschaffenheit ebenfalls transversal ausbreiten.

Wasserwellen sind als Oberflächenwellen meist eine Mischform aus longitudinalen und transversalen Bewegungen. Als stehende Welle, eine sogenannte Seiche, können sie auch reine Transversalwellen sein. Wasserwellen treten als Schwerewellen, Kapillarwellen oder als Übergangsform zwischen beiden auf. Eine Torsionswelle entsteht durch die Überlagerung zweier phasenverschobener Transversalwellen mit verschiedenen Schwingungsebenen.

Nach dem benötigten Medium unterscheidet man bei mechanischen Wellen außerdem akustische und elastische Wellen. Elastische Wellen besitzen longitudinale Komponenten, sogenannte P-Wellen, und transversale Komponenten, sogenannte S-Wellen. Akustische Wellen bestehen dagegen nur aus longitudinalen Anteilen. Deshalb können sie sich in gasförmiger, flüssiger und fester Materie ausbreiten. Für transversale Wellen ist ein ausreichend großes Schermodul erforderlich; sie können sich daher nur in fester Materie fortpflanzen.

Nicht an ein Medium gebundene Wellen sind unter anderem Materiewellen, Wahrscheinlichkeitswellen und Gravitationswellen. Nach Louis de Broglies Theorie besitzt ein bewegtes Teilchen eine Wellenlänge, die bei entsprechendem Versuchsaufbau nachgewiesen werden kann. Wahrscheinlichkeitswellen beschreiben im Rahmen der Quantenphysik Zustände physikalischer Systeme. Gravitationswellen stauchen und strecken die Raumzeit quer zu ihrer Ausbreitungsrichtung.

Mathematische Beschreibung

Zur vollständigen Beschreibung einer Welle benötigt man insbesondere Amplitude, Phase sowie Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit. Die Amplitude A₀ ist die maximal mögliche Auslenkung. Bei Wellen ist sie im Gegensatz zu einer eindimensional betrachteten Schwingung eine vektorielle Größe, weil sowohl die Stärke als auch die Richtung der Auslenkung wichtig sind. Ist die Ausbreitungsrichtung parallel zur Amplitude, liegt eine Longitudinalwelle vor; ist sie senkrecht, handelt es sich um eine Transversalwelle. Die Intensität ist in beiden Fällen proportional zum Quadrat der Amplitude.

Die wichtigsten Größen und Beziehungen sind:

• Der Wellenvektor k gibt die Ausbreitungsrichtung an; die Kreiswellenzahl ist k = |k|.
• Die Wellenlänge ist λ = 2π/k.
• Die Kreisfrequenz ist ω; ihre Abhängigkeit vom Wellenvektor wird durch die Dispersionsrelation ω(k) beschrieben.
• Für die Frequenz gilt f = ω/2π.
• Die Phasengeschwindigkeit ist c = ω/k = λf.
• Die Gruppengeschwindigkeit ist vG = dω/dk.
• Die Phase einer ebenen Welle lautet φ = k · r − ωt.

Die Phase hängt vom Ort r und von der Zeit t ab und wird durch den Wellenvektor k und die Kreisfrequenz ω bestimmt. Sie steht als Argument in einer mit 2π periodischen Funktion. Deshalb wird sie modulo 2π oder als Winkel zwischen 0° und 360° angegeben, wenn der augenblickliche Zustand innerhalb einer räumlichen oder zeitlichen Periode beschrieben wird.

Eine Wellenfunktion A(r,t) ist eine Gleichung, die die Welle mathematisch beschreibt. Mathematisch spricht man von einer Welle, wenn diese Funktion eine Lösung einer Wellengleichung ist. A gibt die Auslenkung am Ort r zur Zeit t an. Da eine allgemeine Funktion für jede Wellenart nicht ohne Weiteres angegeben werden kann, beschreibt man reale Wellen häufig als Überlagerung vieler einfacher Lösungen. Die gebräuchlichsten Elementarlösungen sind die ebene Welle und die Kugelwelle.

Eine harmonische, homogene oder monochromatische ebene Welle im dreidimensionalen Raum kann in komplexer Schreibweise so dargestellt werden:

A(r,t) = Re(A₀e^{i(k · r − ωt)}) = Re(A₀) cos(k · r − ωt) − Im(A₀) sin(k · r − ωt).

Eine Kugelwelle wird beschrieben durch:

A(r,t) = Re((A₀/r)e^{i(kr − ωt)}) = Re(A₀)/r · cos(kr − ωt) − Im(A₀)/r · sin(kr − ωt).

Bei der Kugelwelle nimmt die Amplitude in dieser Darstellung mit 1/r ab.

Erzeugung und Überlagerung

Wellen können durch pulsförmige Anregungen, Vibrationen oder periodische Schwingungen entstehen. Periodische mechanische und elektromagnetische Wellen lassen sich durch periodische Schwingungen erzeugen. Ein Beispiel ist ein Pendel mit einem befestigten Stift. Wird unter dem Stift ein Blatt Papier mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, zeichnet der Stift auf dem Papierstreifen eine sinusförmige Welle. Die Wellenlänge hängt von der Geschwindigkeit des Papierstreifens ab, die Amplitude vom maximalen Ausschlag des Pendels.

Elektromagnetische Wellen können durch eine Antenne erzeugt werden, die an einen elektrischen Schwingungsgenerator angeschlossen ist. Als Generator kann ein Schwingkreis dienen, in dem der elektrische Strom zwischen einer Spule und einem Kondensator hin- und herfließt. Dabei wird die elektromagnetische Gesamtenergie periodisch zwischen elektrischer Energie im Feld des Kondensators und magnetischer Energie im Feld der Spule umgewandelt. Bei einer für die Antenne geeigneten Frequenz strahlt die Antenne einen Teil dieser Energie effizient als elektromagnetische Welle in den Raum ab. Dieser Vorgang ist besonders für die drahtlose Kommunikation wichtig.

Erreichen Wellen aus verschiedenen Richtungen denselben Ort, überlagern sie sich. Im einfachsten Fall addieren sich ihre momentanen Werte. Dieses Superpositionsprinzip gilt mathematisch, indem man die einzelnen Wellenfunktionen addiert. Die Überlagerung kann zu Verstärkung, Abschwächung oder dauerhafter Auslöschung führen; diese Erscheinungen heißen konstruktive beziehungsweise destruktive Interferenz.

Reale Wellen sind nur selten rein monochromatisch, sondern meist Überlagerungen vieler Wellenlängen. Die Anteile der verschiedenen Wellenlängen bilden das Spektrum. Sonnenlicht besitzt ein kontinuierliches Spektrum, das von Infrarot über sichtbares Licht bis Ultraviolett reicht. Ein Musikton besteht aus einem Grundton und mehreren Oberschwingungen. Dieses Spektrum ist diskret, weil es aus einzelnen klar getrennten Wellenlängen besteht.

Wichtige Folgen der Überlagerung sind:

• Bei Interferenz können sich Wellen konstruktiv verstärken oder teilweise beziehungsweise vollständig auslöschen. Vollständige Auslöschung ist möglich, wenn zwei Wellen gleiche Wellenlängen und Frequenzen besitzen und genau gegenläufig schwingen. Ein Beispiel ist unerwünschter Mehrwegempfang, bei dem Wellen eines Senders auf verschiedenen Wegen an einem Ort eintreffen.
• Eine stehende Welle entsteht durch zwei gegenläufige Wellen gleicher Frequenz und Amplitude. Das räumliche Schwingungsmuster bewegt sich nicht. An Bewegungsbäuchen schwingt die Welle mit verdoppelter Amplitude und ursprünglicher Frequenz; an den dazwischenliegenden Bewegungsknoten ist die Amplitude jederzeit Null. Stehende Wellen entstehen beispielsweise vor einer reflektierenden Wand oder zwischen passend abgestimmten Wänden eines Resonators.
• Eine Schwebung entsteht durch die Überlagerung zweier Wellen mit benachbarten Frequenzen. Ihre Amplitude nimmt periodisch zu und ab. Je näher die Frequenzen beieinanderliegen, desto langsamer verläuft diese Änderung. Beim Stimmen von Musikinstrumenten wird die Schwebungsfrequenz möglichst nahe Null eingestellt.
• Ein Wellenpaket entsteht durch die Überlagerung von Wellen mit allen Frequenzen eines Frequenzbandes. Seine Einhüllende besitzt nur einen einzelnen ausgeprägten Berg; davor und dahinter ist die Amplitude vernachlässigbar. Da die Phasengeschwindigkeit in Wellenleitern und dispersiven Medien frequenzabhängig ist, zerfließen Wellenpakete mit der Zeit. Diese Verbreiterung muss bei der Nachrichtenübermittlung berücksichtigt werden.