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Silberner Schnitt
Der Silberne Schnitt (angelehnt an die Bezeichnung Goldener Schnitt) ist das Teilungsverhältnis einer Strecke (Länge) oder anderen Größe (Bereich), …
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Definition und Zahlenwert
Der Silberne Schnitt ist ein Teilungsverhältnis einer Strecke oder einer anderen Größe. Dabei ist das Verhältnis der Summe aus dem verdoppelten größeren Teil und dem kleineren Teil zum größeren Teil gleich dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil. Bezeichnet man den größeren Teil mit a, den kleineren mit b und den Silbernen Schnitt mit δ_S, gilt:
δ_S = a/b = (2a+b)/a.
Daraus folgt δ_S = 1/δ_S + 2. Nach Umformung erhält man die quadratische Gleichung δ_S² − 2δ_S − 1 = 0. Weil δ_S > 1 sein muss, ergibt sich:
δ_S = 1 + √2 = 2,414213… .
Der Silberne Schnitt ist außerdem mit der Funktion f(x) = x/2 + √((x/2)² + 1) darstellbar. Für x = 1 liefert die Funktion den Goldenen Schnitt, für x = 2 den Silbernen Schnitt. Mit trigonometrischen Funktionen gilt:
δ_S = cot(π/8) = tan(3π/8).
Damit ist der Silberne Schnitt mit dem Winkel π/8 = 22,5° verbunden. Als Kettenbruch besitzt er die Darstellung δ_S = [2; 2, 2, 2, …] = 2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + …))).
Konstruktion im halben Achteck
Eine geometrische Herleitung von 1 + √2 ist mit Zirkel und Lineal mithilfe eines halben regelmäßigen Achtecks möglich. Ausgangspunkt ist ein regelmäßiges Achteck mit der Seitenlänge b₀ = 1.
Zunächst wird auf einer Geraden eine Senkrechte errichtet und um A ein Viertelkreis mit Radius r = 1 gezeichnet. Dadurch entstehen C und D. Der rechte Winkel ACD wird halbiert. So entstehen der Winkel 45°, der Schnittpunkt E und die erste Achtecksseite AE. Um E wird anschließend ein Kreisbogen mit dem Radius |AE| gezeichnet; zusammen mit einer durch E gelegten Parallelen zu AC entsteht im Schnittpunkt F die zweite Achtecksseite EF.
Die beiden Mittelsenkrechten der Achtecksseiten liefern den Mittelpunkt M des halben Achtecks. Durch M werden eine Mittelachse parallel zu AC und ein Halbkreis mit Radius |AM| gezeichnet. Ihr Schnittpunkt mit dem Kreisbogen ist H; FH bildet die dritte Achtecksseite. Die Verbindungen von E und F mit M schneiden sich in B und erzeugen den Zentriwinkel 45°. Zwei Senkrechten auf AH durch A und H bis zur Mittelachse liefern schließlich I und J.
Nach dem Satz des Pythagoras hat AB die Länge √2 = a + b. Die Seite EM des Dreiecks MFE schneidet AB in C und teilt diese Strecke im Verhältnis des Silbernen Schnittes. Außerdem besitzen die Strecken AH und IJ jeweils die Länge 1 + √2. Bei b₀ = 1 folgt daher:
IJ = (1 + √2)/1 = 1 + √2 = δ_S ≈ 2,414213562.
Die Konstruktion zeigt somit unmittelbar den Zahlenwert des Silbernen Schnittes.
Innere Teilung
Bei der inneren Teilung wird eine gegebene Strecke AB zwischen ihren Endpunkten im Verhältnis des Silbernen Schnittes geteilt. Es gilt:
a/b = 1 + √2 = δ_S.
Für den größeren Teil ergibt sich aus der Konstruktion:
a = √(2 · (AB/2)²) = AB/√2.
Zur Konstruktion wird zunächst der Mittelpunkt G der Strecke AB bestimmt. Um G zeichnet man einen Halbkreis mit dem Radius |GA|. Eine Senkrechte auf AB durch G schneidet diesen Halbkreis in E. Danach wird um A ein Kreisbogen mit dem Radius |AE| gezeichnet. Dieser Kreisbogen trifft die Strecke AB im Teilungspunkt C. Die beiden Teilstrecken haben dort die Längen a als größerer und b als kleinerer Teil und stehen im Verhältnis des Silbernen Schnittes.
Äußere Teilung
Auch eine äußere Teilung ist möglich. Dabei wird eine vorgegebene Strecke verlängert. Ist die Länge a gegeben, gilt für den kleineren Teil:
b = a/(1 + √2).
Für die Konstruktion wird auf der vorgegebenen Strecke AC, deren Länge a entspricht, im Punkt A ein rechter Winkel errichtet. Um A wird von C aus ein Viertelkreis bis zur Senkrechten gezeichnet; der Schnittpunkt ist D. Der Winkel ACD wird halbiert, wodurch der Winkel 45° und der Punkt E entstehen. Ein Kreisbogen um E mit dem Radius |EA| verlängert AC über C hinaus bis zum Punkt B. Die Verlängerung CB besitzt die Länge b. Damit ist AB äußerlich im Verhältnis des Silbernen Schnittes geteilt, wobei a der größere und b der kleinere Teil ist.
Silbernes Rechteck
Ein Rechteck mit Seitenlängen a und b < a heißt Silbernes Rechteck, wenn der Quotient seiner Seitenlängen dem Silbernen Schnitt entspricht:
a/b = 1/(√2 − 1) = 1 + √2 = δ_S.
Es kann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Dazu wird zunächst eine beliebige Strecke durch innere oder äußere Teilung im Verhältnis des Silbernen Schnittes geteilt. Die ermittelte Seite b wird an einer Senkrechten aufgerichtet; anschließend wird das Rechteck ergänzt.
Bei der Konstruktion mit innerer Teilung teilt der Mittelpunkt G der Strecke AB die Seitenlänge a erneut im Verhältnis des Silbernen Schnittes. Dadurch entstehen die Seiten a₁ und b₁ eines weiteren Silbernen Rechtecks. Dieser Vorgang lässt sich mit weiteren Paaren (a₂, b₂), (a₃, b₃), … beliebig fortsetzen.
Eine alternative Konstruktion geht von einem Quadrat ABCD mit Seitenlänge a aus. Die Seite DA wird über A hinaus verlängert. Ein Kreisbogen mit dem Radius |DB| = a · √2 schneidet die Verlängerung in E. Die Strecke AE ist die gesuchte Seite b, denn:
b = a/δ_S = a/(1 + √2) = a · √2 − a.
Im Alltag gibt es eher wenige Beispiele für diesen Quotienten. Im Artikel werden unter anderem Autos genannt, deren Länge und Breite dem Silbernen Schnitt entsprechen. Eine weitere Möglichkeit nutzt ein DIN-A4-Blatt mit dem Seitenverhältnis 1:√2. Nach dem Abschneiden eines Quadrates bleibt das Silberne Rechteck EFBA zurück. Durch analoges Abschneiden von zwei Quadraten aus einem Silbernen Rechteck entsteht wieder ein Silbernes Rechteck.
Weitere geometrische Eigenschaften
Vier kongruente gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke können so angeordnet werden, dass ein großes und ein kleines Rechteck entstehen. Setzt man ohne Beschränkung der Allgemeinheit jede Kathete gleich 1, hat das große Rechteck das Seitenverhältnis (1 + √2):1 = δ_S. Das kleine Rechteck besitzt das Seitenverhältnis 1:(√2 − 1). Wegen
1/(√2 − 1) = (√2 + 1)/1 = δ_S
ist auch dieses Rechteck ein Silbernes Rechteck.
Wiederholt man das Verfahren mit dem jeweils kleineren Rechteck und setzt es unendlich fort, entstehen vier unendliche konvergente Reihen aus ähnlichen gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken. Ihre Grenzwerte sind identisch; die vier Reihen füllen spiralförmig die gesamte Fläche des großen Rechtecks aus. Die Flächenmaßzahlen der mittleren Rechtecke konvergieren dabei gegen Null.
Jede der vier Dreiecksspiralen hat die Flächenmaßzahl:
A = 1 · (1 + √2)/4 = (√2 + 1)/4 = δ_S/4.
