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Kettenbruch
In der Mathematik und insbesondere der Zahlentheorie ist ein Kettenbruch (fortgesetzter Bruch) ein Ausdruck der Form. a + b c + d e + f ⋱ .
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Begriff, Formen und Bedeutung
Ein Kettenbruch oder fortgesetzter Bruch ist ein verschachtelter Ausdruck der Form a₀ + a₁/(b₁ + a₂/(b₂ + …)). Die Brüche aᵢ/bᵢ heißen Teilbrüche, aᵢ Teilzähler und bᵢ Teilnenner; alle auftretenden Nenner müssen ungleich 0 sein. Endet die Verschachtelung, heißt der Kettenbruch endlich, andernfalls unendlich.
Besonders wichtig sind reguläre oder einfache Kettenbrüche, bei denen alle Teilzähler 1 sind. Sie werden kurz als [b₀; b₁, b₂, …] geschrieben; gewöhnlich ist b₀ ganzzahlig und die weiteren bᵢ sind natürliche Zahlen. Negativ-regelmäßige oder Hirzebruch-Jung-Kettenbrüche besitzen stattdessen durchgehend den Teilzähler −1.
Jede reelle Zahl lässt sich als regulärer Kettenbruch darstellen. Kettenbrüche bilden daher ähnlich wie Dezimalbrüche ein Zahlensystem, dienen aber vor allem der besonders guten rationalen Approximation reeller Zahlen. Außerdem werden Kettenbrüche zur Approximation von Funktionen sowie in Zahlentheorie, Kryptographie, algebraischer Geometrie, Topologie, Funktionentheorie, numerischer Mathematik und bei der Analyse chaotischer Systeme verwendet.
Endliche Kettenbrüche und Berechnung
Rationale Zahlen entsprechen endlichen regulären Kettenbrüchen. Bricht man [b₀; b₁, …, bₙ] nach einem Glied ab, erhält man den n-ten Näherungsbruch oder die n-te Konvergente pₙ/qₙ. Zähler und Nenner lassen sich rekursiv berechnen:
pₙ = bₙpₙ₋₁ + pₙ₋₂ mit p₋₁ = 1 und p₋₂ = 0, qₙ = bₙqₙ₋₁ + qₙ₋₂ mit q₋₁ = 0 und q₋₂ = 1.
Dabei gilt qₙpₙ₋₁ − pₙqₙ₋₁ = (−1)ⁿ. Deshalb sind alle Näherungsbrüche vollständig gekürzt, und aufeinanderfolgende Konvergenten unterscheiden sich um pₙ₋₁/qₙ₋₁ − pₙ/qₙ = (−1)ⁿ/(qₙqₙ₋₁). Die Rekursion kann auch durch Matrixprodukte dargestellt werden.
Die Kettenbruchentwicklung einer rationalen Zahl entsteht mit dem euklidischen Algorithmus. Für 17/10 liefern die Divisionen 17 = 1·10 + 7, 10 = 1·7 + 3, 7 = 2·3 + 1 und 3 = 3·1 die Darstellung 17/10 = [1; 1, 2, 3]. Ihre Näherungsbrüche sind 1/1, 2/1, 5/3 und 17/10. Endliche Darstellungen sind nicht eindeutig: […, bₙ + 1] und […, bₙ, 1] haben denselben Wert. Jede rationale Zahl besitzt genau zwei reguläre Kettenbruchdarstellungen.
Unendliche Kettenbrüche und Konvergenz
Ein unendlicher Kettenbruch ist als Grenzwert seiner Näherungsbrüche definiert. Jeder unendliche reguläre Kettenbruch konvergiert: Die Konvergenten mit geradem Index steigen monoton, diejenigen mit ungeradem Index fallen monoton; jede ungerade Konvergente liegt über jeder geraden. Beide Teilfolgen besitzen denselben Grenzwert α. Für den Fehler gilt
bₙ₊₂/(qₙqₙ₊₂) < |α − pₙ/qₙ| < 1/(qₙqₙ₊₁).
Jede irrationale Zahl besitzt eine eindeutige unendliche Darstellung, und jeder unendliche reguläre Kettenbruch stellt eine irrationale Zahl dar. Zur Berechnung setzt man b₀ = ⌊α⌋ und bildet wiederholt den Kehrwert des Restes: α₁ = 1/(α − b₀), danach b₁ = ⌊α₁⌋, α₂ = 1/(α₁ − b₁) und so weiter. Bei rationalen Zahlen endet dieser verallgemeinerte euklidische Algorithmus, bei irrationalen nicht. Die αₙ heißen vollständige Quotienten.
Für π ergibt das Verfahren zunächst [3; 7, 15, …]; ein regelmäßiges Muster ist nicht bekannt. Dagegen gilt e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, …]. Ein nicht-reguläres Beispiel aus der Analysis ist Eulers Darstellung von ln(2), deren Teilnenner nach dem Anfang alle 1 und deren Teilzähler ab dem zweiten die Quadratzahlen sind.
Periodische Kettenbrüche und Quadratwurzeln
Ein Kettenbruch heißt periodisch, wenn seine Teilnenner nach einer endlichen Vorperiode in einem Block der minimalen Länge k wiederkehren. Man schreibt beispielsweise [b₀; b₁, …, bₙ, overline(bₙ₊₁, …, bₙ₊ₖ)]. Der Satz von Euler-Lagrange besagt: Eine reelle Zahl besitzt genau dann einen periodischen regulären Kettenbruch, wenn sie eine quadratische Irrationalzahl ist, also eine irrationale Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten.
Typische Beispiele folgen durch Gleichsetzen des wiederkehrenden Restes: [1; overline(1)] = (1 + √5)/2 ist die goldene Zahl, [1; overline(2)] = √2 und [1; overline(1, 2)] = √3. Allgemein gilt √(n² + 1) = [n; overline(2n)] sowie √(4n² + 2) = [2n; overline(2n, 4n)].
Für jede rationale Zahl r > 1, die kein Quadrat einer rationalen Zahl ist, hat √r eine Darstellung der Form [b₀; overline(b₁, b₂, …, b₂, b₁, 2b₀)]. Die Vorperiode hat Länge 1, und der periodische Block ist bis zum abschließenden 2b₀ symmetrisch. Beispiele sind √(39/5) = [2; overline(1, 3, 1, 4)] und √14 = [3; overline(1, 2, 1, 6)]. Für √(p/q) ist die Periodenlänge kleiner als pq, für √n insbesondere kleiner als n. Periodische Kettenbrüche dienen außerdem zur Lösung der Pellschen Gleichung x² − d·y² = ±1.
Beste rationale Näherungen
Da irrationale Zahlen beliebig genau rational angenähert werden können, gibt es keine absolut beste Näherung. Ein Bruch a/b heißt beste Näherung 1. Art von α, wenn unter allen anderen Brüchen c/d mit d ≤ b sein absoluter Fehler |α − a/b| am kleinsten ist. Er heißt beste Näherung 2. Art, wenn |bα − a| unter derselben Nennerbedingung am kleinsten ist. Die zweite Bedingung ist stärker: Jede beste Näherung 2. Art ist auch eine der 1. Art.
Nach einem Satz von Lagrange ist jeder Näherungsbruch pₙ/qₙ mit n > 0 eine beste Näherung 2. Art; umgekehrt ist jede beste Näherung 2. Art eine Konvergente. Zusätzliche beste Näherungen 1. Art können Nebennäherungsbrüche sein. Sie entstehen als iterierte Medianten benachbarter Konvergenten und haben die Form (rpₙ₊₁ + pₙ)/(rqₙ₊₁ + qₙ) für r = 1, …, bₙ₊₂ − 1. Jede beste Näherung 1. Art ist eine Konvergente oder ein solcher Nebennäherungsbruch.
Für π = [3; 7, 15, 1, 292, …] beginnen die Näherungsbrüche mit 3/1, 22/7, 333/106 und 355/113. Die außergewöhnliche Genauigkeit von 355/113 hängt mit dem großen folgenden Teilnenner 292 zusammen.
Aus der Fehlerabschätzung folgt, dass es zu jeder irrationalen Zahl α unendlich viele a/b mit |α − a/b| < 1/b² gibt. Nach Legendre ist jeder Bruch mit |α − a/b| < 1/(2b²) eine Konvergente. Vahlen zeigte 1895, dass von zwei aufeinanderfolgenden Konvergenten mindestens eine diese Schranke erfüllt; nach Émile Borel erfüllt von drei aufeinanderfolgenden mindestens eine |α − pₙ/qₙ| < 1/(√5·qₙ²). Hurwitz zeigte 1891, dass √5 im Allgemeinen nicht verbessert werden kann: Bei der goldenen Zahl gibt es für c > √5 nur endlich viele Lösungen von |φ − a/b| < 1/(cb²).
Typisches Verhalten und Vergleich mit Dezimalzahlen
Die metrische Kettenbruchtheorie untersucht Eigenschaften, die für fast alle reellen Zahlen gelten, also mit Ausnahme einer Nullmenge. Nach Chintschin konvergiert für fast alle reellen Zahlen das geometrische Mittel (b₁b₂···bₙ)^(1/n) gegen die Chintschin-Konstante
∏ᵣ₌₁^∞ (1 + 1/(r(r + 2)))^(log₂ r) = 2,685452001… .
Ob diese Konstante rational, algebraisch irrational oder transzendent ist, ist unbekannt. Ausnahmen sind unter anderem rationale Zahlen sowie Zahlen mit besonders regelmäßigen Kettenbrüchen, etwa quadratische Irrationalzahlen, e und Zahlen der Form e^(1/n) oder e^(2/n).
Der Satz von Lochs vergleicht Kettenbruch- und Dezimaldarstellung: Für fast jede reelle Zahl zwischen 0 und 1 liefert langfristig jedes weitere Kettenbruchglied π²/(6 ln 2 ln 10) ≈ 1,03064 gültige Dezimalstellen. Kettenbrüche sind damit für fast alle Zahlen nur geringfügig effizienter als Dezimaldarstellungen. Verwandt ist die Lévy-Konstante limₙ→∞ (qₙ)^(1/n) = e^(π²/(12 ln 2)).
