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Achteck
octogonum, octagonum, octagonon, von griech. ὀκτάγωνον oktágōnon) ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon) mit acht Ecken und acht Seiten. Achtecke …
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Grundidee und Formen
Ein Achteck, auch Oktogon oder Oktagon, ist ein Vieleck mit acht Ecken und acht Seiten. Wie andere Vielecke, die keine Dreiecke sind, kann es konvex, konkav oder überschlagen sein.
Bei einem konvexen Achteck sind alle Innenwinkel kleiner als 180°. Es kann regelmäßig oder unregelmäßig sein. Bei einem konkaven Achteck ist mindestens ein Innenwinkel größer als 180°. Ein überschlagenes Achteck kann ebenfalls regelmäßig oder unregelmäßig sein.
Ein regelmäßiges Achteck entsteht aus acht Punkten auf einem Kreis, deren Abstände zueinander gleich sind. Die verbundenen Strecken heißen Seiten oder Kanten. Ein Sehnenachteck hat zwar alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis, seine Seiten können aber unterschiedlich lang sein.
Regelmäßige Sterne und Beispiel
Ein regelmäßiges überschlagenes Achteck entsteht, wenn beim Verbinden der acht Eckpunkte jeweils mindestens ein Punkt übersprungen wird und die erzeugten Sehnen gleich lang sind. Die Schläfli-Symbole {n/k} bedeuten: n ist die Zahl der Eckpunkte, verbunden wird jeweils jeder k-te Punkt. Für das Achteck werden die regelmäßigen Sterne als {8/3} und {8/5} notiert; es gibt nur einen regelmäßigen Achtstrahlstern, auch Achterstern oder Oktogramm genannt.
Die „Sterne“ {8/2} und {8/6} sind Quadrate. Werden zwei solche Quadrate mit Achsen- und Diagonallinien übereinandergelegt und um 45° gegeneinander gedreht, entsteht ein Achtort.
Ein besonderes Sehnenachteck ist das Putnam-Achteck. Es hat vier aufeinanderfolgende Seiten der Längenmaßzahl 3 und vier weitere aufeinanderfolgende Seiten der Längenmaßzahl 2. Seine Flächenmaßzahl beträgt 12·√2 + 13; dies ergibt sich aus (2·√2 + 3)² − 4·1/2·(√2)² = 12·√2 + 13.
Winkel, Radien und Diagonalen
Für ein regelmäßiges Achteck mit Seitenlänge a beträgt der Zentriwinkel α = 360°/8 = 45°. Der Innenwinkel ist δ = 180° − α = 135°.
Der Inkreisradius r_i und der Umkreisradius r_u sind r_i = ((1 + √2)/2)·a ≈ 1,207·a, r_u = (1/2)·√(4 + 2√2)·a ≈ 1,307·a.
Ihr Verhältnis lautet r_i/r_u = (1/2)√(2 + √2) ≈ 0,92388. Die drei Diagonalenlängen sind d_1 = 2r_u = √(4 + 2√2)·a ≈ 2,613·a, d_2 = 2r_i = (1 + √2)·a ≈ 2,414·a, d_3 = √2·r_u = √(2 + √2)·a ≈ 1,848·a.
Flächeninhalt berechnen
Zur Flächenberechnung wird das regelmäßige Achteck in acht gleichschenklige Dreiecke zerlegt. Jedes hat einen eingeschlossenen Winkel von 45° und zwei Basiswinkel von je 67,5°. Seine Höhe erzeugt zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Winkeln 67,5°, 22,5° und 90°.
Mit a als Seitenlänge, a′ als halber Seitenlänge, r_i als Inkreisradius, r_u als Umkreisradius und A als Flächeninhalt gilt bei gegebenem Inkreisradius: a′ = r_i·tan 22,5° und A = 8·r_i²·tan 22,5°.
Bei gegebener Seitenlänge gilt r_i = a′/tan 22,5° und A = 2·a²/tan 22,5°. Allgemein kann der Flächeninhalt auch geschrieben werden als A = (2 + 2·√2)·a² ≈ 4,828·a² oder A = 2·√2·r_u² ≈ 2,828·r_u².
Bei gegebenem Umkreisradius gilt a′ = r_u·sin 22,5°, r_i = r_u·cos 22,5° und A = 8·r_u²·sin 22,5°·cos 22,5° = 4·r_u²·sin 45°.
Konstruktionen und Anwendungen
Bei gegebenem Umkreis kann ein regelmäßiges Achteck aus einem Quadrat konstruiert werden: Man zeichnet die Symmetrieachsen mit den Mittelsenkrechten M_S. Ihre Schnittpunkte mit dem Umkreis werden mit den Ecken des Quadrats verbunden.
Bei gegebener Seitenlänge a werden zunächst deren Endpunkte A und B festgelegt. Über Kreisbögen mit Radius a um A und B entstehen I und J. Mithilfe einer Halbgeraden durch I und J, einer zu IJ parallelen Geraden durch B sowie weiteren Verbindungen wird der Mittelpunkt M bestimmt. Der Mittelpunktswinkel beträgt wegen der ähnlichen Dreiecke ΔBLA ∼ ΔABM: μ = ∠BAL = ∠AMB = 45°. Mit dem Umkreis um M und dem Abtragen der Seitenlänge entstehen die übrigen Ecken.
Eine archimedische Parkettierung besteht aus regelmäßigen Achtecken und Quadraten. Sie ist periodisch sowie dreh- und translationssymmetrisch und enthält nur regelmäßige Vielecke. Regelmäßige Achtecke sind außerdem Seitenflächen der archimedischen Körper Hexaederstumpf und Großes Rhombenkuboktaeder. Als Vorkommen werden unter anderem Oktogone in der Architektur, Gartentische, Café Achteck, die Reichskrone in der Wiener Schatzkammer, Stoppschilder und die Acht Trigramme des chinesischen Yijing genannt.
