Signifikante Stellen

Grundidee

Signifikante Stellen, auch geltende oder gültige Stellen beziehungsweise Ziffern genannt, sind die Stellen einer Zahl, die aussagekräftig sind. Eine Stelle ist nur dann sinnvoll angegeben, wenn mögliche Abweichungen der Zahl innerhalb der Grenzen der Abweichung der letzten Stelle liegen. Führende Nullen zählen nicht als signifikant. Bei endenden Nullen muss der Zusammenhang klären, ob sie wirklich signifikant sind; eine passende Schreibweise kann diese Mehrdeutigkeit vermeiden.

In Naturwissenschaft und Technik stammen viele Zahlenwerte aus Messungen. Solche Messwerte haben eine Messunsicherheit: Ab einer bestimmten Stelle ist der Zahlenwert nicht mehr sicher, und alle niederwertigeren Stellen sind bedeutungslos. Die Anzahl der signifikanten Stellen ist deshalb die Mindestzahl von Stellen, mit der ein Zahlenwert ohne Genauigkeitsverlust angegeben werden kann. Gibt man mehr Dezimalstellen an, als die experimentelle Genauigkeit rechtfertigt, kann das irreführend sein. Nach anerkannten Regeln der Technik wie DIN und GUM werden nur die mit Gewissheit bekannten Stellen plus eine weitere, unsichere Stelle angegeben.

Dezimalschreibweise

Bei Zahlen mit Nachkommastellen muss man zwischen Nachkommastellen und signifikanten Stellen unterscheiden. Nachkommastellen sind die Ziffern rechts des Kommas. Sie sind nicht automatisch alle signifikant. Zum Beispiel hat 98,76 vier signifikante Stellen und zwei Nachkommastellen. Die Zahl 00,009 876 hat ebenfalls vier signifikante Stellen, aber sechs Nachkommastellen; die führenden Nullen sind nicht signifikant.

Bei Zahlen ohne Nachkommastellen ist die Bewertung schwieriger. Eine Zahl wie 60 kann je nach Zusammenhang eine, zwei oder sogar mehr signifikante Stellen haben. Wird sie als natürliche Zahl verwendet, kann sie exakt gemeint sein. Wird sie als Zahlenwert einer physikalischen Größe verwendet, kann sie gerundet sein.

Um Mehrdeutigkeit zu vermeiden, hilft die wissenschaftliche Schreibweise mit Zehnerpotenz-Faktor. Bei einem messtechnisch bestimmten Zahlenwert 60 bedeutet 6 · 10^1 eine signifikante Stelle, 6,0 · 10^1 zwei signifikante Stellen und 60,0 oder 6,00 · 10^1 drei signifikante Stellen. Eine nicht signifikante endende Null wird also weggelassen; wird die Null geschrieben, ist sie als signifikant gekennzeichnet.

Weitere Beispiele zeigen diese Mehrdeutigkeit: 9 876 000,00 · 10^−2 hat 9 signifikante Stellen und 2 Nachkommastellen. Bei 9 876 000 ist ungeklärt, ob 4 bis 7 Stellen signifikant sind. Bei 98 760 · 10^2 ist ungeklärt, ob 4 oder 5 Stellen signifikant sind. Dagegen haben 987,6 · 10^4 und 9,876 · 10^6 jeweils 4 signifikante Stellen.

Exakte Werte und DIN-Regel

Manche Zahlenwerte in Naturwissenschaft und Technik sind exakt bekannt, also ohne Messunsicherheit. Dazu gehören ganze Zahlen, zum Beispiel die Anzahl der Protonen in einem Atomkern. Auch Zahlen mit endlicher Anzahl von Nachkommastellen können exakt sein; die Planck-Konstante h wurde für die Definition der Maßeinheiten auf exakt 6.62607015e^−34 Js festgelegt. Es gibt außerdem exakt bekannte Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, zum Beispiel die reduzierte Planck-Konstante ℏ = h/(2π).

Bei exakt bekannten Werten ist das Konzept der signifikanten Stellen nicht anwendbar, weil die Zahl der angegebenen Stellen nicht die Messgenauigkeit ausdrückt. Bei Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen schreibt man nach der letzten angegebenen Stelle üblicherweise Auslassungspunkte, um zu zeigen, dass weitere Stellen angegeben werden könnten.

DIN 1333 definiert signifikante Stellen als die erste von Null verschiedene Stelle bis zur Rundungsstelle. Die Rundungsstelle ist die letzte Stelle, die nach dem Runden noch angegeben werden kann. Ziffern, die durch Rundung wegfallen, sollen nicht durch Nullen ersetzt werden. Stattdessen soll man durch Kommaverschiebung und Zehnerpotenz-Faktor die Rundungsstelle auf die Einerstelle oder auf eine Nachkommastelle verschieben. In der Messtechnik kann die Kommastellung auch durch die Wahl der Einheit angepasst werden, zum Beispiel bei Längen von mm über cm und m bis km.

Ein Beispiel ist die Umrechnung 20 km in 20 000 m. Dabei werden endende Nullen angefügt, die nicht signifikant sind. Wenn die Länge wirklich bis auf einen Meter genau angegeben werden kann, müsste vorher 20,000 km geschrieben werden. Ohne weitere Information wird im Allgemeinen angenommen, dass die letzte angegebene Stelle gerundet ist. Für 20 000 wird daher angenommen, dass die Zahl einen Wert zwischen 19 999,5 und 20 000,5 repräsentiert.

Rechnen mit Messwerten

Für Rechenergebnisse gibt es zwei Faustregeln. Bei Addition und Subtraktion bekommt das Ergebnis genauso viele Nachkommastellen wie die Zahl mit den wenigsten Nachkommastellen. Bei Multiplikation und Division bekommt das Ergebnis genauso viele signifikante Stellen wie die Zahl mit den wenigsten signifikanten Stellen.

Beispiele: 20,567 + 0,0007 wird wegen der kleinsten Anzahl von 3 Nachkommastellen zu 20,568. 12 + 1,234 hat wegen 0 Nachkommastellen das Ergebnis 13. 12,00 + 1,234 ergibt 13,23, und 12,000 + 1,234 ergibt 13,234. Bei Multiplikationen gilt die Zahl der signifikanten Stellen: 1,234 · 3,33 ergibt mit 3 signifikanten Stellen 04,11; 1,234 · 0,0015 ergibt mit 2 signifikanten Stellen 00,0019; 28 · π ergibt mit 2 signifikanten Stellen 88.

Das Ergebnis hängt auch davon ab, ob eine Zahl exakt ist und ob die Stellenzahl vor oder nach der Rechnung festgelegt wird. Ist 3 ein exakter Parameter und 1,234 ein Messwert mit 4 signifikanten Stellen, dann ergibt 3 · 1,234 das Ergebnis 3,702. Ist dagegen 1,234 ein Parameter und 3,000 der Messwert, dessen relevante Stellen sich auf 1 signifikante Stelle beziehen, dann kann das Ergebnis nur eine signifikante Stelle haben: vor der Rechnung gilt 1,234 ≈ 1, nach der Rechnung 3,702 ≈ 4.

Runden sollte man möglichst spät im Rechnungsgang. Sonst können sich mehrere Rundungsabweichungen zu einer größeren Gesamtabweichung zusammensetzen. In Zwischenrechnungen sollen bekannte Größen deshalb mit mindestens einer Stelle mehr eingesetzt werden, als im Ergebnis angegeben werden kann. Ein genauer Rechenfaktor erhöht die Genauigkeit eines Messergebnisses nicht automatisch: Wird zum Beispiel ein Kreisdurchmesser auf Millimeter genau gemessen und der Umfang mit einer sehr genauen Näherung für π berechnet, kann der Umfang trotzdem bestenfalls millimetergenau angegeben werden. Auch ein als exakt angenommener Maßstabsfaktor 10 ändert die Zahl der signifikanten Stellen von Koordinaten nicht.

Messtechnik und Fehlergrenzen

In der Messtechnik ist es am sichersten, die Fehlergrenzen der Eingangsdaten zu beachten und ihre Auswirkungen auf das Ergebnis zu bestimmen; das heißt Fehlerfortpflanzung zu verwenden. Exakte Zahlen haben die Fehlergrenze null. Die Fehlergrenze des Ergebnisses zeigt, welche niederwertigste Stelle noch signifikant ist.

Ein Beispiel ist ein gemessener Kreisradius r = 17,5 cm und der Umfang U = 2πr. Die Zahl 2 ist exakt: 2 = 2,000 · (1 ± 0 %). Für π wird passend zur Stellenanzahl von r gerundet: π = 3,14 ± 0,005 = 3,14 · (1 ± 0,2 %). Der gemessene Radius wird angegeben als r = 17,5 cm ± 0,1 cm = 17,5 cm · (1 ± 0,6 %). Vom Messwert wird angenommen, dass die niederwertigste Stelle um ±1 falsch angegeben sein kann.

Die Rechnung ergibt U = 109,90 cm · (1 ± (0 + 0,2 + 0,6) %) = 109,90 cm ± 0,9 cm. Als Ergebnis wird daher U = (110 ± 1) cm angegeben. Genaueres ist nicht sinnvoll, weil die erste Nachkommastelle mit ±9 bereits maximal ungewiss ist. Die endende Null in 110 ist hier signifikant. Um das ohne Fehlergrenzen deutlich zu machen, schreibt man besser U = 1,10 m oder U = 11,0 dm. Nicht geschrieben werden darf U = 1100 mm oder U = 1099 mm, weil die endende Null oder endende Neun wegen der Fehlergrenze keine signifikante Stelle ist.

Selbst ein exakteres π würde nur U = 109,96 cm · (1 ± 0,6 %) = 109,96 cm ± 0,7 cm ergeben; die Stellenanzahl des Ergebnisses wäre dieselbe. Das Beispiel zeigt, dass eine millimetergenaue Messung nicht immer ein millimetergenaues Ergebnis garantiert. Bei multiplikativen Rechnungen bleibt die Genauigkeit relativ zum jeweiligen Wert in ihrer Größenordnung konstant. In komplizierteren Rechnungen lässt sich die Genauigkeit nicht zuverlässig allein über die Anzahl signifikanter Stellen abschätzen; verlässlich ist dann nur eine korrekte Fehlerfortpflanzungsrechnung.

Angabe nach GUM

Der international anerkannte „Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM)“ beschreibt ein Verfahren, mit dem die sinnvoll anzugebenden signifikanten Stellen auf Grundlage der Messunsicherheit festgelegt werden.

Das Verfahren besteht aus drei Schritten: Zuerst wird die Messung durchgeführt und die Unsicherheit ermittelt. Danach wird das Ergebnis der erweiterten Unsicherheit auf höchstens zwei signifikante Stellen gerundet. Schließlich wird das Ergebnis der Messung auf dieselben Stellen gerundet.