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Sehnensatz
Der Sehnensatz ist ein Satz aus der Elementargeometrie und beschreibt eine Beziehung zwischen den Strecken, die von zwei sich schneidenden Kreissehnen gebildet …
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Kernaussage
Der Sehnensatz ist ein Satz der Elementargeometrie. Er beschreibt eine feste Beziehung zwischen den Streckenabschnitten, die entstehen, wenn sich zwei Kreissehnen schneiden. Eine Sehne ist eine Strecke, deren Endpunkte auf einem Kreis liegen.
Schneiden sich in einem Kreis zwei Sehnen in einem Punkt S, dann ist das Produkt der beiden Abschnitte auf der einen Sehne gleich dem Produkt der beiden Abschnitte auf der anderen Sehne. Der Satz ist wichtig, weil man damit unbekannte Streckenlängen in Kreisfiguren berechnen kann.
Formel und Verhältnisform
Gegeben ist ein Kreis mit zwei Sehnen, die sich in S schneiden. Die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sehne heißen A und C, die Schnittpunkte mit der anderen Sehne heißen B und D.
Dann gilt die Produktgleichung: |AS| · |CS| = |BS| · |DS|
Dabei bedeutet |AS| die Länge der Strecke von A nach S. Die Aussage kann auch als Verhältnisgleichung geschrieben werden: |AS| : |DS| = |BS| : |CS|
Umkehrung
Zum Sehnensatz gilt auch eine Umkehrung. Betrachtet man ein Viereck ABCD mit dem Schnittpunkt S seiner Diagonalen und gilt |AS| · |CS| = |BS| · |DS|,
dann besitzt dieses Viereck einen Umkreis. Das heißt: Alle vier Eckpunkte A, B, C und D liegen auf einem gemeinsamen Kreis. Ein solches Viereck heißt Sehnenviereck.
Beziehung zum Höhensatz
Der Sehnensatz kann als Verallgemeinerung des Höhensatzes von Euklid verstanden werden. Dazu wählt man die beiden Sehnen so, dass eine Sehne ein Durchmesser des Kreises ist und die andere Sehne senkrecht auf diesem Durchmesser steht.
Nach dem Satz des Thales bilden die Endpunkte dieser Sehnen mit den Endpunkten des Durchmessers ein rechtwinkliges Dreieck. In dieser besonderen Lage entspricht die Aussage des Sehnensatzes der Aussage des Höhensatzes von Euklid. In der angegebenen Form wird dies als |CD| · |DE| = |AD| · |DB| beziehungsweise h² = pq dargestellt.
Beweisidee
Der Sehnensatz lässt sich mit ähnlichen Dreiecken beweisen. Man betrachtet die Dreiecke ASD und BSC. Die Winkel ∠ADS und ∠SCB sind Umfangswinkel über demselben Kreisbogen AB und deshalb nach dem Umfangswinkelsatz gleich groß. Außerdem sind ∠DSA und ∠BSC Scheitelwinkel und daher ebenfalls gleich groß.
Damit stimmen die Dreiecke ASD und BSC in zwei Winkeln überein. Nach dem W:W:W-Satz sind sie ähnlich. Aus der Ähnlichkeit folgt |AS| / |SD| = |BS| / |SC|.
Durch kreuzweise Multiplikation erhält man |AS| · |SC| = |BS| · |SD|, was die Produktgleichung des Sehnensatzes ist.
Geschichtlicher Hinweis
Euklid formulierte und bewies den Sehnensatz in seinen Elementen, Buch III, § 35.
