Satz von Vieta

Kernaussage und Umkehrung

Der Satz von Vieta, auch Wurzelsatz von Vieta genannt, beschreibt den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und ihren Lösungen. Sind x₁ und x₂ die Lösungen der Gleichung

x² + px + q = 0,

dann gilt

x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q.

Die Summe der beiden Lösungen ist also der negative Koeffizient von x, während ihr Produkt dem konstanten Glied q entspricht.

Auch die Umkehrung gilt: Erfüllen zwei Zahlen x₁ und x₂ die Bedingungen x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q, dann sind sie die beiden Lösungen von x² + px + q = 0. Dadurch kann man sowohl von einer quadratischen Gleichung zu ihren Lösungen als auch von vorgegebenen Lösungen zur passenden Gleichung gelangen.

Typische Anwendungen

Mit dem Satz von Vieta lassen sich quadratische Gleichungen zu vorgegebenen Lösungen konstruieren. Für x₁ = 2 und x₂ = 3 erhält man

p := −(x₁ + x₂) = −5 und q := x₁ · x₂ = 6.

Damit lautet die gesuchte Gleichung x² − 5x + 6 = 0. Durch Äquivalenzumformungen lassen sich daraus weitere quadratische Gleichungen mit denselben Lösungen erzeugen.

Der Satz hilft außerdem bei Gleichungssystemen, in denen Summe und Produkt zweier Zahlen gegeben sind. Aus x + y = 5 und x · y = 6 entsteht die Gleichung x² − 5x + 6 = 0. Ihre Lösungen sind 2 und 3, sodass für das System entweder x = 2, y = 3 oder x = 3, y = 2 gilt.

Bei vermuteten ganzzahligen Lösungen kann man passende Nullstellen durch Probieren finden. Für x² − 7x + 10 = 0 müssen x₁ + x₂ = 7 und x₁ · x₂ = 10 gelten. Als ganzzahlige Kandidaten untersucht man Teilerpaare von 10, darunter (1,10), (2,5), (−2,−5) und (−1,−10). Das Paar 2 und 5 erfüllt beide Bedingungen, denn 2 + 5 = 7 und 2 · 5 = 10. Daher sind 2 und 5 die Nullstellen.

Begründung des Satzes

Der Satz folgt unmittelbar aus der Nullstellenform eines normierten quadratischen Polynoms. Besitzt es die Nullstellen x₁ und x₂, dann gilt

x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂) = x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂.

Beim Koeffizientenvergleich werden die Faktoren vor gleichen Potenzen von x verglichen. Daraus folgen p = −(x₁ + x₂) und q = x₁x₂.

Alternativ kann man die pq-Formel verwenden:

x₁ = −p/2 + √((p/2)² − q), x₂ = −p/2 − √((p/2)² − q).

Beim Addieren heben sich die beiden Wurzelausdrücke auf, sodass x₁ + x₂ = −p entsteht. Beim Multiplizieren ergibt die dritte binomische Formel

x₁x₂ = (p/2)² − ((p/2)² − q) = q.

Für die Umkehrung setzt man p = −(x₁ + x₂) und q = x₁x₂ in x² + px + q = 0 ein. Durch Einsetzen von x₁ beziehungsweise x₂ zeigt sich, dass beide Zahlen die Gleichung erfüllen.

Verallgemeinerung auf höhere Grade

Der Satz von Vieta gilt entsprechend für Polynomgleichungen beliebigen Grades und bildet eine Grundlage für das Lösen höhergradiger Gleichungen durch Polynomdivision. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra lässt sich jedes normierte Polynom n-ten Grades mit komplexen Koeffizienten als Produkt von n Linearfaktoren schreiben:

P(x) = xⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₂x² + a₁x + a₀ = (x − x₁)(x − x₂) · … · (x − xₙ).

Die Zahlen x₁, x₂, …, xₙ sind die Nullstellen. Sie müssen nicht alle verschieden sein und können auch bei reellen Koeffizienten komplex sein.

Durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich erhält man

aₙ₋ⱼ = (−1)ʲσⱼ für j = 1, …, n,

wobei

σₖ = ∑₁≤ᵢ₁<ᵢ₂<…<ᵢₖ≤ₙ xᵢ₁ · … · xᵢₖ

das k-te elementarsymmetrische Polynom der Nullstellen ist. Dabei werden alle Produkte aus jeweils k verschiedenen Nullstellen addiert. Für n = 2 ergibt sich daraus der gewöhnliche Satz von Vieta.

Konkret ist aₙ₋₁ die negative Summe aller Nullstellen. Der Koeffizient aₙ₋₂ ist die Summe aller Produkte aus je zwei verschiedenen Nullstellen. Danach wechseln die Vorzeichen weiter. Für das konstante Glied gilt

a₀ = (−1)ⁿx₁x₂ · … · xₙ.

Allgemein sind die Koeffizienten aᵢ bis auf das Vorzeichen (−1)ⁿ⁻ⁱ gleich den elementarsymmetrischen Funktionen σₙ₋ᵢ der Nullstellen.

Beispiel vierten Grades

Für

P(x) = x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ = (x − x₁)(x − x₂)(x − x₃)(x − x₄)

gilt:

−a₃ = σ₁ = x₁ + x₂ + x₃ + x₄,

a₂ = σ₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄ + x₂x₃ + x₂x₄ + x₃x₄,

−a₁ = σ₃ = x₁x₂x₃ + x₁x₂x₄ + x₁x₃x₄ + x₂x₃x₄,

a₀ = σ₄ = x₁x₂x₃x₄.

Eine wichtige Anwendung für n = 3 und n = 4 ist die Rückführung einer kubischen Gleichung auf eine quadratische Gleichung beziehungsweise einer Gleichung vierten Grades auf eine kubische Gleichung, die sogenannte kubische Resolvente. Der Wurzelsatz von Vieta gilt auch für Polynome mit Koeffizienten in anderen Körpern, sofern diese algebraisch abgeschlossen sind.