Sekanten-Tangenten-Satz

Kernaussage

Der Sekanten-Tangenten-Satz, auch Sehnen-Tangenten-Satz genannt, ist ein Lehrsatz der euklidischen Geometrie. Er beschreibt den Zusammenhang zwischen Strecken, die entstehen, wenn von einem Punkt außerhalb eines Kreises eine Tangente und eine Sekante an den Kreis gelegt werden.

Eine Tangente ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Eine Sekante ist eine Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet. Der Satz ist wichtig, weil er Längen an Kreisfiguren berechenbar macht.

Definition und Formel

Gegeben ist ein Kreis mit einer Sekante g und einer Tangente t. Beide Geraden schneiden sich in einem Punkt P außerhalb des Kreises. Die Sekante g schneidet den Kreis in den Punkten G1 und G2. Die Tangente berührt den Kreis im Punkt T.

Dann gilt:

|PG1| · |PG2| = |PT|²

Dabei bezeichnet |PG1| die Länge der Strecke von P nach G1, |PG2| die Länge der Strecke von P nach G2 und |PT| die Länge der Tangentenstrecke von P zum Berührpunkt T.

Verhältnisform

Die Aussage kann auch als Verhältnisgleichung geschrieben werden:

|PG1| : |PT| = |PT| : |PG2|

Das bedeutet: Die Tangentenstrecke |PT| ist die mittlere Proportionale zwischen den beiden Sekantenstrecken |PG1| und |PG2|. Aus dieser Verhältnisgleichung folgt direkt die Produktformel |PG1| · |PG2| = |PT|².

Zusammenhang mit anderen Kreissätzen

Der Sekanten-Tangenten-Satz ist ein Spezialfall des Sekantensatzes. Beim Sekantensatz werden von einem äußeren Punkt zwei Sekanten an denselben Kreis betrachtet. Beim Sekanten-Tangenten-Satz fallen bei der zweiten Sekante die beiden Schnittpunkte mit dem Kreis in einem einzigen Punkt zusammen; daraus wird die Tangente.

Der Satz steht außerdem in Beziehung zum Sehnensatz. Sekanten-Tangenten-Satz, Sekantensatz und Sehnensatz lassen sich mithilfe ähnlicher Dreiecke beweisen. Sie können auch mit dem Begriff der Potenz zusammengefasst und zu einer einheitlichen Aussage verbunden werden. Ein rechnerischer Nachweis mit dem Satz von Vieta wird im Zusammenhang mit der Potenz angegeben.