Sekantensatz

Aussage und Bedeutung

Der Sekantensatz beschreibt zwei Geraden, die einen Kreis jeweils in zwei Punkten schneiden und sich außerhalb des Kreises in einem Punkt P treffen. Eine solche Gerade heißt Sekante. Auf jeder Sekante betrachtet man die Strecken von P zu ihren beiden Schnittpunkten mit dem Kreis.

Der Satz besagt: Das Produkt dieser beiden Abschnittslängen ist für beide Sekanten gleich. Kurz gesagt: Das Produkt der Sekantenabschnitte ist konstant.

Formeln

Die Schnittpunkte der einen Sekante mit dem Kreis heißen A und D, die der anderen Sekante B und C. Dann gilt:

|AP| · |DP| = |BP| · |CP|

Dabei bezeichnet |AP| jeweils die Länge der entsprechenden Strecke. Gleichwertig lässt sich der Satz als Verhältnisgleichung schreiben:

|AP| : |BP| = |CP| : |DP|

Beweis mit ähnlichen Dreiecken

Der Beweis verwendet die Dreiecke APC und BPD. Sie sind nach dem Ähnlichkeitssatz WW ähnlich, weil zwei entsprechende Winkel übereinstimmen:

• Der Winkel φ am gemeinsamen Punkt P ist in beiden Dreiecken gleich.
• Umfangswinkel über derselben Sehne AB sind gleich groß. Daher gilt ∠ADB = ∠ACB beziehungsweise γ₁ = δ₁.

Somit gilt ΔAPC ∼ ΔBPD. Aus der Ähnlichkeit folgt die Verhältnisgleichung

|AP| : |BP| = |CP| : |DP|.

Multipliziert man beide Seiten mit |BP| · |DP|, erhält man die Aussage des Sekantensatzes:

|AP| · |DP| = |BP| · |CP|.

Ein weiterer rechnerischer Nachweis mithilfe des Satzes von Vieta wird im Artikel „Potenz (Geometrie)“ behandelt.