Ähnlichkeitssätze – einfach erklärt

Bedeutung der Ähnlichkeitssätze

Ähnlichkeitssätze geben hinreichende Bedingungen dafür an, dass zwei Dreiecke ähnlich sind. Ähnliche Dreiecke haben gleiche entsprechende Winkel und entsprechende Seitenlängen im gleichen Verhältnis. Anschaulich können sie daher unterschiedlich groß, aber gleich geformt sein. Viele Aussagen der Geometrie lassen sich mithilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken beweisen.

Vier Kriterien für ähnliche Dreiecke

W:W:W-Satz: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei und damit auch in drei Winkeln übereinstimmen.
S:S:S-Satz: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn alle Verhältnisse entsprechender Seiten übereinstimmen.
S:W:S-Satz: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn ein Winkel und das Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen.
S:S:W-Satz: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn das Verhältnis zweier Seiten und der Winkel gegenüber der größeren dieser Seiten übereinstimmen.

Bei ähnlichen Dreiecken ABC und A'B'C' sind die Verhältnisse entsprechender Seitenlängen gleich. In den dargestellten Beispielen wird dies unter anderem mit a : a' = (b + b') : b' = (c + c') : c' ausgedrückt.

Typische Fälle

Alle gleichseitigen Dreiecke sind nach dem S:S:S-Satz zueinander ähnlich. Alle gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke sind nach dem S:W:S-Satz zueinander ähnlich. Auch alle Dreiecke im Pythagoras-Baum sind zueinander ähnlich.

Beziehung bei Parallelen im Dreieck

Liegt ein Punkt P innerhalb eines Dreiecks ABC, wobei a = |BC|, b = |AC| und c = |AB| gilt, so werden durch P Parallelen zu den Dreiecksseiten gezeichnet. Diese teilen jede Seite in drei Abschnitte. Bezeichnet a', b' und c' jeweils den mittleren Abschnitt, dann gilt:

a'/a + b'/b + c'/c = 1.

Der Beweis nutzt die Ähnlichkeit der drei grauen Dreiecke mit ABC. Zunächst folgt b'/s = b/c und a'/t = a/c. Nach Umformung erhält man b'/b = s/c und a'/a = t/c. Damit ergibt sich:

a'/a + b'/b + c'/c = t/c + s/c + c'/c = 1.