Linearität (Physik)

Begriff und mathematische Kennzeichen

Linearität bedeutet in Physik, Chemie und Technik, dass sich der Zusammenhang zwischen zwei physikalischen Größen durch eine lineare Funktion darstellen lässt. Sind x die Eingangsgröße und y die Ausgangsgröße eines Bauelements, Geräts oder physikalischen Zusammenhangs, gilt:

y = m · x + b, mit m und b als reellen Konstanten.

Genauer handelt es sich hierbei um eine affin-lineare Funktion. In einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit gleichmäßig geteilten Achsen erscheint ihre Kennlinie als Gerade. Die Konstante m gibt die Steigung an, b den Wert von y bei x = 0.

Im Sonderfall b = 0 liegt Proportionalität und damit Linearität im engeren Sinn vor. Die Gerade verläuft dann durch den Koordinatenursprung, und es gilt:

y/x = m = konstant.

Allgemein ist eine Kennlinie linear, wenn ihre Steigung konstant bleibt:

Δy/Δx = m = konstant.

Dies muss unabhängig von der Größe von Δx und von der Lage des Arbeitspunktes gelten. Der Arbeitspunkt ist dabei der Ausgangspunkt, von dem aus die Änderungen Δx und Δy betrachtet werden.

Lineare Näherung

Auch eine stetig gekrümmte, also eigentlich nichtlineare Kennlinie kann in der Nähe eines gewählten Arbeitspunktes näherungsweise linear behandelt werden. Dieses Kleinsignalverhalten ist anwendbar, solange |Δx| klein ist und die Abweichung der Kurve von ihrer Tangente am Arbeitspunkt gering bleibt.

Ein Beispiel ist die thermische Ausdehnung einer Flüssigkeit. Ihr Volumen V kann in Abhängigkeit von der Celsiustemperatur t beschrieben werden durch:

V = V₀(1 + αt + βt² + γt³ + ⋯).

Wenn die Glieder mit β, γ und den weiteren höheren Potenzen keinen beachtenswerten Beitrag liefern, der Term αt aber schon, kann die thermische Ausdehnung als linear angesehen werden.

Messgeräte und Messsignale

In der Messtechnik besteht häufig ein linearer Zusammenhang zwischen einer Messgröße, beispielsweise der Konzentration eines Stoffes, und einem Messsignal, etwa der elektrischen Spannung eines Sensors. Bei einem Messgerät wird möglichst Proportionalität angestrebt.

Dazu kann eine Messkette das Signal verstärken und bei Bedarf zusätzlich den Nullpunkt verschieben. Bei einem Analogmessgerät kann beispielsweise der Zeiger von außen verstellt werden, um den Nullpunkt einzustellen.

Ein innerer Zusammenhang muss jedoch nicht linear sein, damit ein Wert proportional abgelesen werden kann. Besteht zwischen der Messgröße und dem Ausschlag beziehungsweise dem Zeigerwinkel ein nichtlinearer Zusammenhang, kann eine ebenfalls nichtlinear geteilte Skala diesen ausgleichen. Der ablesbare Skalenwert ist dann dennoch proportional zur Messgröße.

Elektrische Bauelemente und Kennlinien

Eine lineare Spannungsquelle ist dadurch gekennzeichnet, dass ihre Klemmenspannung Uₖₗ mit steigender Stromstärke I gemäß folgender Gleichung abnimmt:

Uₖₗ = U₀ − I Rᵢ.

Die grundlegenden passiven Bauelemente ohmscher Widerstand, Spule und Kondensator gelten im Wechselstromkreis als lineare Widerstände. Auf eine harmonische Schwingung Δx der Eingangsgröße reagieren sie mit einer ebenfalls harmonischen Schwingung Δy der Ausgangsgröße bei gleicher Frequenz. Als Größen treten dabei elektrische Spannung U und Stromstärke I auf. Halbleiterbauelemente verhalten sich dagegen in aller Regel nichtlinear.

Beim Feldeffekttransistor beschreibt eine Kennlinie den Zusammenhang zwischen der Steuerspannung UGS und der gesteuerten Stromstärke ID. Im Bereich von 0 bis −1 V kann diese Kurve näherungsweise als Gerade gelten: Einer vom Arbeitspunkt aus gemessenen Spannungsänderung ΔUGS folgt eine proportionale Stromänderung ΔID. Ändert sich ΔUGS zeitlich sinusförmig, verläuft auch ΔID sinusförmig.

Im Bereich von −1 bis −3 V ist die Funktion nichtlinear; die Grenze zwischen beiden Bereichen ist fließend. Eine sinusförmige Änderung von ΔUGS führt dort zu einem nicht sinusförmigen Verlauf von ΔID und damit zu Verzerrungen.

Geradlinige Bewegung und Molekülform

In der Mechanik kann „linear“ die Bewegungsrichtung eines Körpers bezeichnen. Eine lineare Bewegung verläuft entlang einer geraden Linie, eine nichtlineare Bewegung nicht. In einem Verbrennungsmotor führt der Hubkolben eine geradlinige, ungleichmäßige Translation aus. Die verbundene Kurbelwelle bewegt sich dagegen kreisförmig und führt im stationären Zustand eine gleichmäßige Rotation aus.

In der Chemie dient der Begriff außerdem zur Beschreibung der Molekülgeometrie. Ein Molekül kann als linear oder gewinkelt klassifiziert werden. Bei einem linearen Molekül beträgt der Bindungswinkel 180°.

Lineare Beziehungen in der Chemie

Bei chemischen Analysen werden häufig elektrische oder andere physikalische Größen gemessen. Dabei treten unter anderem folgende lineare Beziehungen auf:

• In wässerigen Lösungen ist der Zusammenhang zwischen der Konzentration und der elektrolytischen Leitfähigkeit meistens proportional.

• Bei geeigneten Elektroden besteht ein linearer Zusammenhang zwischen dem pH-Wert und der elektrischen Spannung.

• Wird die Temperaturabhängigkeit einer Reaktionsgeschwindigkeit in einem Arrheniusgraphen dargestellt, ergibt sich bei kinetisch einfachen Reaktionen ein linearer Zusammenhang. Aus der Steigung dieses Graphen wird die Aktivierungsenergie ermittelt.

Bei der Methodenvalidierung, beispielsweise in der analytischen Chemie oder Forensik, wird der statistische Mandel-Test, auch Mandel-Anpassungstest genannt, eingesetzt. Er dient dazu, zu bestimmen, ob für den untersuchten Fall eine lineare oder eine quadratische Regression als Regressionsmodell anzunehmen ist.