Erzwungene Schwingung

Grundidee und Anwendungen

Eine erzwungene Schwingung ist die Bewegung eines schwingungsfähigen Systems (Oszillators) unter einer zeitabhängigen äußeren Anregung. Bei periodischer Anregung geht sie nach einem Einschwingvorgang in eine stationäre erzwungene Schwingung über. Deren Frequenz wird allein von der äußeren Anregung bestimmt, nicht von der Eigenfrequenz des Systems. Die Amplitude bleibt dann zeitlich konstant und wird besonders groß bei schwacher Dämpfung und einer Anregungsfrequenz nahe der Eigenfrequenz: Resonanz.

Eine parametererregte Schwingung zählt nicht dazu: Dort wird nicht von außen angegriffen, sondern ein Systemeigenschaft wie Eigenfrequenz oder Schwerpunktlage verändert. Erzwungene harmonische Schwingungen dienen in Physik und Technik als Modell für Reaktionen auf äußere Einwirkungen. Mechanische Anregungen sind etwa periodische Kräfte oder Verschiebungen der Ruhelage; elektrische Anregungen Wechselspannung oder Wechselstrom; in Optik und Quantenphysik elektromagnetische Wellen, in der Quantenphysik auch Materiewellen.

Beispiele sind Gezeiten in Meeresbuchten, deren Amplitude etwa in der Bay of Fundy bei passender Buchtenlänge groß werden kann, und unausgewuchtete rotierende Maschinenteile. Diese führen zu einer kritischen Drehzahl mit Resonanz; bei einer Rüttelplatte ist dies erwünscht, bei Motoren und Generatoren zu vermeiden. Fahrbahnunebenheiten regen gefederte Autos an, weshalb Stoßdämpfer wichtig sind. Schallwellen versetzen das Trommelfell in erzwungene Schwingungen; Erdbebenwellen können Hochhäuser anregen, denen Schwingungstilger entgegenwirken.

In der Elektrotechnik trennen Filter mit Spulen, Kondensatoren, teils Widerständen und Quarzen Programme nach Frequenz. Ein mit 2 MHz gespeister Frequenzvervielfacher erzeugt Stromimpulse mit Oberschwingungen von 4 MHz, 6 MHz, 8 MHz usw.; ein abgestimmter Schwingkreis kann eine davon resonant verstärken. Antennen nutzen Resonanz zur effektiven Abstrahlung. Metallabschirmungen strahlen gegenphasige Wellen gleicher Frequenz und Amplitude ab, sodass sich Felder im Inneren kompensieren. Lautsprechermembranen werden elektrisch angeregt; Resonanzen sollen dort vermieden werden.

Licht regt Elektronen an Oberflächen und in Molekülen an. Chlorophyll reflektiert bevorzugt grünes Licht, während blaues und rotes Licht für die Photosynthese absorbiert wird. In der Atmosphäre wird blaues Licht etwa 16-mal stärker gestreut als rotes. Im Mikrowellenherd werden Wassermoleküle zum Umklappen gezwungen und durch Reibung erwärmt; bei gefrorenem Wasser verhindert das Kristallgitter dieses Umklappen.

Antrieb und Grundgleichung

Da alle schwingenden Systeme gedämpft sind, benötigen sie für eine dauerhafte Schwingung einen äußeren Antrieb, der Energieverluste ausgleicht. Das kann erwünscht sein, etwa bei der Tonerzeugung, oder durch Schwingungsisolation möglichst klein gehalten werden. Bei einmaliger oder zeitlich begrenzter Anregung, etwa Trommelschlag oder Geigenbogen, klingt das System nach Ende des Antriebs gedämpft ab.

Für ein Masse-Feder-Dämpfer-System lautet die Bewegungsgleichung

m x¨ + c x˙ + kx = F(t).

Dabei ist x(t) die Auslenkung aus der Ruhelage, m die Masse, k die Federkonstante, c die Dämpfungskonstante und F(t) die äußere Kraft. Ohne Kraft und Dämpfung lautet die Eigenkreisfrequenz ω₀ = √(k/m). Mit Dämpfung gilt γ = c/(2m), 0 < γ < ω₀, und die freie gedämpfte Kreisfrequenz ist ω_d = √(ω₀² − γ²). Die Amplitude der freien Schwingung nimmt proportional zu e^(−γt) ab. Eine konstante Kraft F(t) = F₀ verschiebt die Ruhelage um A_E = F₀/k.

Einschwingen und allgemeine Lösung

Für denselben Kraftverlauf F(t) können wegen verschiedener Anfangsbedingungen zunächst unterschiedliche Bewegungen entstehen. Die Differenz zweier solcher Lösungen erfüllt jedoch die kräftefreie Gleichung m x¨ + c x˙ + kx = 0. Sie ist also eine freie gedämpfte Eigenschwingung und verschwindet bei c > 0 mit der Zeit.

Deshalb nähert sich jede Bewegung bei vorgegebenem F(t) derselben stationären erzwungenen Schwingung X(t). Dieser irreversible, von x(0) und x˙(0) abhängige Übergang heißt Einschwingvorgang. Die stationäre Bewegung hat keine Erinnerung an die Anfangsbedingungen. Allgemein gilt:

x(t) = X(t) + x_d(t),

also stationäre Lösung plus abklingende freie gedämpfte Schwingung.

Bei sinusförmiger Kraft F(t) = F₀ sin(ωt) werden nach dem Einschwingen Amplitude, Frequenz und Phasenverschiebung konstant. Andere Kraftverläufe lassen sich mithilfe der Fouriertransformation als Summe sinus- oder cosinusförmiger Anregungen darstellen. Wegen der Linearität ist die Gesamtbewegung die Summe der Antworten auf diese Frequenzen. Gleichwertig beschreibt die Greensche Funktion die Antwort auf sehr kurze Kraftstöße und summiert sie zeitversetzt auf.

Stationäre harmonische Antwort und Resonanz

Bei sinusförmiger Anregung schwingt das eingeschwungene System mit der Erregerkreisfrequenz ω:

X(t) = A(ω) sin(ωt − φ).

Die Amplitude und Phasenverschiebung sind

A(ω) = (F₀/m) / √((ω₀² − ω²)² + (2γω)²) = A_E / √((1 − η²)² + (2ηD)²),

φ(ω) = arctan(2ωγ/(ω₀² − ω²)) = arctan(2ηD/(1 − η²)).

Hierbei ist η = ω/ω₀ die bezogene Erregerfrequenz, D = γ/ω₀ die dimensionslose Lehrsche Dämpfung und Q = 1/(2D) der Gütefaktor. Q gibt die Zahl der freien Schwingungen an, nach denen die Amplitude auf e^(−π) ≈ 4 % des Anfangswerts abgeklungen ist; nach Q/π Schwingungen beträgt sie 1/e ≈ 37 %.

Der Amplitudengang besitzt ein Maximum bei ω_R = √(ω₀² − 2γ²) = √(1 − 2D²) ω₀, falls ω₀ > √2 γ. Bei sehr langsamer Anregung gilt näherungsweise X(t) ≈ F(t − Δt)/k mit Δt ≈ 2γ/ω₀². Die Auslenkung folgt der Kraft dann nur leicht verzögert. Bei ω = ω₀ beträgt die Verzögerung 90°; Kraft und Geschwindigkeit wechseln gleichzeitig ihr Vorzeichen, sodass ständig Energie zugeführt wird und die gespeicherte Schwingungsenergie maximal ist. Bei deutlich höheren Frequenzen schwingt das System fast gegenphasig zur Kraft.

Einschwingen aus der Ruhelage

Wird der Zeitnullpunkt auf einen Nulldurchgang der stationären Schwingung gelegt, ist X(t) = A(ω) sin(ωt). Für die Anfangsbedingungen x(0) = 0 und x˙(0) = 0 lautet die vollständige Bewegung

x(t) = A(ω)[sin(ωt) − (ω/ω_d)e^(−γt) sin(ω_dt)].

Der zweite Term beschreibt den Einschwingvorgang. Bei ω ≪ ω_d ist er klein; bei ω ≫ ω_d prägt er die Bewegung zunächst, bis (ω/ω_d)e^(−γt) < 1 gilt.

Bei geringer Dämpfung und Anregung nahe der Resonanz entsteht eine Schwebung: Die Schwingung hat die Mittelfrequenz ½(ω + ω_d), während ihre Amplitude mit der halben Differenzfrequenz ½(ω − ω_d) an- und absteigt. Das erste Maximum wird etwa bei t_Amax = π/|ω − ω_d| erreicht. Bei schwacher Dämpfung kann A_max bis zum Doppelten der Resonanzamplitude des eingeschwungenen Zustands werden. Bei exakter Amplitudenresonanz ω = ω_d gilt dagegen

x(t) = A(ω_d)(1 − e^(−γt)) sin(ω_dt).

Die Amplitude nähert sich dann ohne Überschwingen asymptotisch ihrem stationären Wert.

Grenzfälle ohne Dämpfung und ohne Rückstellkraft

Im theoretischen Grenzfall γ = 0 klingt keine freie Eigenschwingung ab; daher gibt es keinen Einschwingvorgang im gedämpften Sinn. Für ω ≠ ω₀ lautet die stationäre Lösung

X(t) = [ω₀²/(ω₀² − ω²) · A_E] sin(ωt).

Bei ω ≪ ω₀ ist ihre Amplitude A_E. Bei Annäherung an ω₀ wächst sie unbegrenzt; für ω > √2 ω₀ ist sie kleiner als A_E. Unterhalb von ω₀ ist sie zur Kraft phasengleich, oberhalb gegenphasig. Die allgemeine Lösung enthält zusätzlich die freie Schwingung A₀ sin(ω₀t − φ₀). Nahe bei ω ≈ ω₀ entsteht dadurch eine theoretisch dauerhaft anhaltende Schwebung.

Bei exakter Resonanz und Start aus der Ruhelage gilt

x(t) = [F₀/(2mω₀)] t sin(ω₀t).

Die Amplitude wächst proportional zur Zeit theoretisch über alle Grenzen. Für beliebige Anfangsbedingungen kommt wieder eine freie Schwingung A₀ sin(ω₀t − φ₀) hinzu.

Beim freien Teilchen fehlt die Rückstellkraft, also ω₀ = 0, und m x¨ + c x˙ = F(t). Bei sinusförmiger Anregung ist

A(ω) = (F₀/m) / [ω√(ω² + (2γ)²)].

Je kleiner ω ist, desto größer werden die Ausschläge; für ω → 0 tritt A → ∞ ein, auch bei γ > 0. Die Phasenverschiebung φ(ω) = arctan(−2γ/ω) ist bei schwacher Dämpfung fast 180° und sinkt bei starker Dämpfung bis 90°.