Exponentialverteilung

Kernidee und Definition

Die Exponentialverteilung, auch negative Exponentialverteilung, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den nicht-negativen reellen Zahlen. Sie beschreibt häufig zufällige Wartezeiten oder Lebensdauern, zum Beispiel die Zeit zwischen zwei Anrufen, die Lebensdauer von Atomen beim radioaktiven Zerfall oder die Lebensdauer technischer Geräte, wenn Alterungserscheinungen nicht berücksichtigt werden müssen.

Eine stetige Zufallsvariable X ist exponentialverteilt mit Parameter λ, geschrieben X ~ Exp(λ) oder X ~ E(λ), wenn λ > 0 gilt und ihre Dichtefunktion lautet:

f_λ(x) = λ e^(-λx) für x >= 0 und f_λ(x) = 0 für x < 0.

Der Parameter λ ist ein inverser Skalenparameter und kann als Ereignisrate verstanden werden: Er gibt die erwartete Zahl von Ereignissen pro Einheitsintervall an. Der Wert 1/λ hat die Bedeutung eines mittleren Ereignisabstands oder einer mittleren Lebensdauer. Kürzere Intervalle bis zum nächsten Ereignis sind wahrscheinlicher als lange Intervalle, sehr lange Intervalle können aber ebenfalls auftreten. Die Dichte kann Werte größer als 1 annehmen, weil nicht die Höhe der Kurve, sondern die gesamte Fläche unter der Dichtekurve auf 1 normiert ist.

Eine alternative Parametrisierung verwendet μ = 1/λ und die Dichte f_μ(x) = (1/μ)e^(-x/μ) für x >= 0. Um Missverständnisse zu vermeiden, ist es sinnvoll, den Erwartungswert ausdrücklich anzugeben, also von einer Exponentialverteilung mit Erwartungswert 1/λ zu sprechen.

Verteilung und Kennzahlen

Die Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass das nächste Ereignis bis zum Zeitpunkt x eintritt. Für die Exponentialverteilung gilt:

F(x) = 1 - e^(-λx) für x > 0 und F(x) = 0 für x <= 0.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit länger als x ist, beträgt e^(-λx). Diese Größe wird auch als Überlebenswahrscheinlichkeit verwendet.

Wichtige Kennzahlen sind:

• Erwartungswert: E(X) = 1/λ. Bei technischen Lebensdauern entspricht dies der mittleren Betriebsdauer; in diesem Zusammenhang wird sie Mean Time Between Failures (MTBF) genannt.
• Median: x̃ = ln(2)/λ ≈ 0,693/λ. Der Median ist der Wert, bis zu dem mit Wahrscheinlichkeit 1/2 ein Ereignis eingetreten ist.
• Modus: x_D = 0. Die Dichte ist also direkt bei x = 0 am größten.
• Varianz: Var(X) = 1/λ².
• Standardabweichung: σ = 1/λ.
• Variationskoeffizient: VarK(X) = 1.
• Geometrischer Mittelwert: GM(X) = 1/(λ e^γ), wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist.
• Mittlere absolute Abweichung: e = (2/e)/λ ≈ 0,736/λ.
• Mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians: MD = ln(2)/λ ≈ 0,693/λ.

Die Schiefe der Exponentialverteilung ist unabhängig von λ immer 2. Die Verteilung ist rechtsschief, also mit langem rechten Ausläufer; dazu passt x̃ < E(X). Die Wölbung beträgt immer 9, der Exzess also 6. Die Quantilfunktion lautet F_λ^(-1)(p) = -ln(1-p)/λ; der Interquartilabstand beträgt ln(3)/λ ≈ 1,10/λ.

Für höhere Momente gilt E(X^k) = k!/λ^k. Die momenterzeugende Funktion ist m_X(t) = λ/(λ - t) für t < λ, die charakteristische Funktion ist φ_X(t) = λ/(λ - it), und die Entropie beträgt H(X) = 1 - ln(λ).

Gedächtnislosigkeit und Ausfallrate

Eine zentrale Eigenschaft der Exponentialverteilung ist die Gedächtnislosigkeit. Sie bedeutet: Wenn bereits bekannt ist, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable X den Wert x überschritten hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zusätzlich mindestens t überschreitet, genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass eine gleich verteilte Zufallsvariable überhaupt t überschreitet:

P(X >= x + t | X >= x) = P(X >= t).

Für Lebensdauern heißt das: Das bisher erreichte Alter beeinflusst die weitere Überlebenswahrscheinlichkeit nicht. Die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit ist

P(X > x_0 + x | X > x_0) = e^(-λx).

Die Exponentialverteilung ist die einzige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dieser Gedächtnislosigkeit. Ihr diskretes Gegenstück ist die geometrische Verteilung als einzige diskrete gedächtnislose Verteilung.

Die Überlebensfunktion ist das Komplement der Verteilungsfunktion:

P(X > x) = 1 - F(x) = e^(-λx).

Daraus folgt für die Ausfallrate h(x):

h(x) = f(x)/(1 - F(x)) = λ.

Die Ausfallrate ist also zeitlich und räumlich konstant. Deshalb eignet sich die Exponentialverteilung nur für ermüdungsfreie Systeme, bei denen Alterungseffekte nicht betrachtet werden müssen. Wenn eine Ausfallrate steigt oder fällt, ist die Exponentialverteilung nicht passend; im Artikel wird dafür die Weibull-Verteilung genannt.

Zusammenhänge mit anderen Verteilungen

Die Exponentialverteilung ist eng mit mehreren anderen Verteilungen verbunden. Besonders wichtig ist der Zusammenhang mit dem Poisson-Prozess: Wenn Ereignisse nach den poissonschen Annahmen auftreten, ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen eines Poisson-Prozesses mit Rate λ exponentialverteilt mit Parameter λ. Die Anzahl der Ereignisse in einem Intervall der Länge Δw ist dann Poisson-verteilt mit Parameter λ · Δw. Aus der Wahrscheinlichkeit, bis w kein Ereignis und im kleinen Intervall [w, w + Δw] ein Ereignis zu haben, ergibt sich die Dichte f_λ(w) = λ e^(-λw).

Auch zur Gammaverteilung besteht ein direkter Zusammenhang. Die Wartezeit bis zum n-ten Ereignis eines Poisson-Prozesses wird durch die Gammaverteilung beschrieben. Die Exponentialverteilung mit Parameter λ ist die Gammaverteilung mit Parametern 1 und λ. Die Summe von n unabhängigen Exp(λ)-verteilten Zufallsvariablen ist gamma- beziehungsweise Erlang-verteilt mit Parametern n und λ. Im Spezialfall n = 1 geht die Erlang-Verteilung in die Exponentialverteilung über: Erl(λ, 1) = Exp(λ).

Weitere Beziehungen sind: Ist X auf [0,1] stetig gleichverteilt, dann ist Y = -(1/λ) ln(X) exponentialverteilt mit Parameter λ. Sind X und Y unabhängig standardnormalverteilt, dann ist X² + Y² exponentialverteilt mit λ = 1/2. Die Chi-Quadrat-Verteilung geht für n = 2 in die Exponentialverteilung mit λ = 1/2 über. Die geometrische Verteilung ist das diskrete Äquivalent der Exponentialverteilung für Wartezeiten bis zum ersten Ereignis. Bei β = 1 geht die Weibull-Verteilung in die Exponentialverteilung über. Außerdem ergeben sich Beziehungen zur Pareto-, Rayleigh-, Laplace-, Gamma-Gamma- und Standard-Gumbel-Minimum-Verteilung.

Anwendung und Beispiel

Ein typisches Anwendungsgebiet ist die Lebensdauer technischer Bauteile. Bei elektronischen Bauelementen ist die Lebensdauer häufig annähernd exponentialverteilt. Dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein x Tage altes Bauteil noch mindestens t Tage hält, ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass ein neues Bauteil überhaupt t Tage hält. Entscheidend ist die konstante Ausfallrate λ.

Diese Annahme ist nicht immer passend. Bei Glühlampen gilt sie nur näherungsweise, weil diese besonders beim Einschalten stark beansprucht werden. Auf Lebewesen darf sie ebenfalls nicht angewendet werden; sonst wäre zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass ein Achtzigjähriger noch weitere fünfzig Jahre lebt, genauso hoch wie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Neugeborener das fünfzigste Lebensjahr erreicht. Auch die sogenannte Badewannenkurve wird nicht durch die Exponentialverteilung beschrieben, weil dort zu Beginn die Ausfallrate λ höher und nicht konstant ist; dafür ist eine andere Lebensdauerverteilung wie die Weibull-Verteilung nötig.

Im Artikel wird eine Elektronikfirma betrachtet, die Funkwecker produziert. Aus Reklamationen ergibt sich, dass durchschnittlich pro Tag 5 ‰ der Wecker unabhängig von ihrem Alter ausfallen. Damit ist λ = 0,005 1/Tage und die mittlere Lebensdauer beträgt 1/λ = 1 Tage / 0,005 = 200 Tage. Die Zufallsgröße X = „Zeitdauer der Funktionsfähigkeit eines Funkweckers in Tagen“ ist also exponentialverteilt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wecker höchstens noch 20 Tage hält, ist 1 - e^(-0,005 · 20) = 0,0952. Nach 20 Tagen sind also durchschnittlich ungefähr 10 % der Wecker ausgefallen. Der Anteil der Wecker, die mindestens 180 Tage aushalten, ist 1 - (1 - e^(-0,005 · 180)) = 1 - 0,5934 = 0,4066, also durchschnittlich ungefähr 40 %.

Simulation

Exponentialverteilte Zufallszahlen können mit der Inversionsmethode erzeugt werden. Dabei nutzt man die Verteilungsfunktion F(x) = 1 - e^(-λx) und bildet ihre Inverse:

F^(-1)(y) = -(1/λ) ln(1-y).

Aus einer Folge von Standardzufallszahlen u_i erhält man daher exponentialverteilte Zufallszahlen durch

x_i := -(1/λ) ln(1-u_i).

Einfacher kann stattdessen auch x_i := -(1/λ) ln(u_i) gerechnet werden.