Pareto-Verteilung – einfach erklärt

Grundidee und Definition

Die Pareto-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem rechtsseitig unendlichen Intervall [x_min, ∞). Sie ist skaleninvariant und folgt einem Potenzgesetz. Für kleine Exponenten gehört sie zu den endlastigen Verteilungen: Kleine positive Werte treten häufig auf, sehr große Werte dagegen selten, können aber über mehrere Größenordnungen reichen. Typische Anwendungsbeispiele sind Einkommensverteilungen, Stadtgrößen und Schadenshöhen in der Versicherungsmathematik. Die Verteilung wurde ursprünglich von Vilfredo Pareto zur Beschreibung der Einkommensverteilung Italiens verwendet; 1897 gab er an, dass die Zahl der Personen mit einem Einkommen über x näherungsweise proportional zu 1/x^k sei. Der Parameter k betrug nach seiner Beobachtung länderübergreifend etwa 1,5.

Eine stetige Zufallsvariable X heißt Pareto-verteilt, geschrieben Par(k, x_min), wenn k > 0, x_min > 0 gilt und ihre Wahrscheinlichkeitsdichte lautet:

f(x) = { k x_min^k / x^(k+1) für x ≥ x_min; 0 für x < x_min }.

x_min ist der Mindestwert und zugleich der Modus, also die Stelle, an der die Dichte ihr Maximum besitzt. Je größer der Abstand zwischen x und x_min im Verhältnis zu x_min ist, desto kleiner wird die Wahrscheinlichkeit. Der Parameter k beschreibt, wie stark große Werte vermieden werden: Bei größerem k fällt die Kurve steiler ab, und große Werte treten mit geringerer Wahrscheinlichkeit auf.

Für x ≥ x_min lautet die kumulative Verteilungsfunktion:

P(X ≤ x) = F(x) = ∫[x_min bis x] f(t) dt = 1 − (x_min / x)^k.

Die Überlebens- oder Überschreitungswahrscheinlichkeit ist:

P(X > x) = 1 − P(X ≤ x) = (x_min / x)^k.

Diese Potenzform erklärt die langen rechten Ausläufer der Verteilung.

Kennzahlen und mathematische Eigenschaften

Der Erwartungswert ist nur für k > 1 endlich:

E(X) = x_min · k/(k−1) für k > 1; ∞ für k ≤ 1.

Der Median beträgt m(X) = x_min · 2^(1/k). Das 4. Quintil, also das 80-%-Quantil, ist Q_0,8 = x_min · 5^(1/k). Für k > 1 gilt für den Erwartungswert der Werte oberhalb dieses Quintils:

E(X | X > Q_0,8) = [x_min · k/(k−1)] / 5^((k−1)/k).

Für k = 1,5, den von Pareto als typisch angesehenen Wert, entspricht dieser bedingte Erwartungswert 1/∛5, also ungefähr 58 %, des gesamten Erwartungswertes. Bei einer entsprechend verteilten Bevölkerung würden die 20 % mit den höchsten Einkommen somit 58 % des Gesamteinkommens erhalten, nicht 80 %. Die 80-%-20-%-Regel gilt in diesem Zusammenhang für k = log_4 5 ≈ 1,16.

Für das n-te Moment gilt allgemein:

E(X^n) = x_min^n · k/(k−n) für k > n; ∞ für k ≤ n.

Daraus folgen die Bedingungen für Streuungsmaße. Die Varianz ist für 1 < k ≤ 2 unendlich und für k > 2:

Var(X) = x_min² [k/(k−2) − k²/(k−1)²] = x_min² · k/[(k−2)(k−1)²].

Für k > 2 lautet die Standardabweichung σ(X) = [x_min/(k−1)] · √[k/(k−2)], der Variationskoeffizient ist VarK(X) = 1/√[k(k−2)].

Für k > 3 ist die Schiefe

v(X) = 2(1+k)/(k−3) · √[(k−2)/k] > 0.

Die Pareto-Verteilung ist dann rechtsschief. Für 3 ≥ k > 0 divergiert das dritte Moment, obwohl die Verteilung wie eine typische rechtsschiefe Verteilung aussehen kann. Für k > 1 ist der Median stets kleiner als der Erwartungswert; nach der Pearson-Definition ist die Verteilung daher rechtsschief. Für k > 0 sind auch die Quantilskoeffizienten positiv.

Die charakteristische Funktion ist k(−i x_min t)^k Γ(−k, −i x_min t), wobei Γ die unvollständige Gammafunktion bezeichnet. Die momenterzeugende Funktion ist nicht in geschlossener Form angebbar. Die Entropie beträgt log(k/x_min) − 1/k − 1.

Beziehungen und Ungleichverteilung

Die Pareto-Verteilung beschreibt das aus dem Pareto-Prinzip beziehungsweise der 80-zu-20-Regel bekannte Phänomen der Ungleichverteilung. Wegen des einzigen Maximums bei x_min sind kleine Werte häufig, während wenige große Werte überproportional zur Gesamtsumme beitragen. Wie stark dieser Effekt ausgeprägt ist, hängt vom Parameter k ab. Im Städtebeispiel tragen wenige Großstädte überproportional zur Gesamtbevölkerung bei, während viele kleine Städte zusammen nur wenige Einwohner stellen. Die 80 % kleinsten Städte stellen dort zusammen 38 % der Gesamtbevölkerung; der Theil-Index beträgt 0,8329315.

Bei einer Verteilung „A zu B“ beziehungsweise A:B werden zwei Quantile betrachtet. A und B liegen zwischen 0 und 1 und erfüllen A + B = 1. Für den Gini-Koeffizienten G und die Hoover-Ungleichverteilung H gilt:

H = G = |2A − 1| = |2B − 1|.

Bei einer 80:20-Verteilung beträgt der Gini- beziehungsweise Hoover-Koeffizient 0,6 beziehungsweise 60 %. Umgekehrt gilt:

A:B = [(1+H)/2] : [(1−H)/2].

Der Theil-Index, ein Entropie-Maß, lässt sich für diese Zwei-Quantile-Verteilungen als T_T = T_L = T_s = 2H · artanh(H) berechnen. Bei einer Gleichverteilung von 0,5:0,5 ist er 0; bei ungefähr 0,82:0,18 erreicht er den Wert 1. Oberhalb von 82 % zu 18 % ist der Theil-Index größer als 1.

Zur Exponentialverteilung besteht folgende Beziehung: Ist X Pareto-verteilt nach Par(k, x_min), dann ist log(X/x_min) exponentialverteilt nach Exp(k) mit dem Parameter λ = k. Ist X Pareto-verteilt, genügt außerdem Y = (1/x_min)(X/x_min − 1) einer verschobenen Pareto-Verteilung.

Das Zipfsche Gesetz ist mathematisch mit der Pareto-Verteilung identisch, wobei x- und y-Achse vertauscht sind. Die Pareto-Verteilung betrachtet die Wahrscheinlichkeit bestimmter Zufallswerte; das Zipfsche Gesetz betrachtet dagegen die Wahrscheinlichkeit, dass Zufallswerte eine bestimmte Rangposition in der Häufigkeitsordnung einnehmen.

Erkennen und grafische Prüfung

Ob eine empirische Verteilung Pareto-ähnlich ist, lässt sich anhand einer doppelt-logarithmischen Darstellung abschätzen. Die Dichte kann als Potenzgesetz y = a x^b geschrieben werden:

f(x) = k x_min^k / x^(k+1) = a x^b mit a = k x_min^k und b = −(k+1).

Auch die Überschreitungswahrscheinlichkeit hat diese Form:

P(X > x) = (x_min/x)^k = a x^b mit a = x_min^k und b = −k.

Für ein Potenzgesetz y = a x^b ergibt einfaches Logarithmieren:

Y(x) = log(y) = log(a) + b log(x).

Setzt man X = log(x), erhält man Y(X) = log(a) + bX. Im doppelt-logarithmischen Diagramm ist der Graph daher eine Gerade mit der Steigung b. Der tatsächliche x-Wert beträgt bei einer logarithmierten Achse 10^X, auch wenn die Achse häufig direkt mit den x-Werten beschriftet wird.

Im Städtebeispiel verläuft die Darstellung von P(X > x) über weite Bereiche annähernd gerade. Die Steigung beträgt ungefähr b ≈ −1,31. Daraus folgt k = −b ≈ 1,31; der Exponent der Dichtefunktion ist somit k + 1 = 2,31, was gut mit Literaturangaben übereinstimmt.

Für die grafische Prüfung wird bevorzugt die kumulative Überschreitungswahrscheinlichkeit verwendet. Sie entsteht durch Aufsummieren beziehungsweise theoretisch durch Integrieren vieler Einzelwerte, sodass die Streuung einzelner Beobachtungen weniger stark auffällt. Ein Histogramm würde dafür entweder viele Intervalle benötigen oder bei wenigen Intervallen zu grob und unrealistisch werden.

Eine Potenzgesetzverteilung kann außerdem durch mehrskaliges Sampling beobachtet werden. Zur Untersuchung von Gebrauchtwagenpreisen können beispielsweise drei Stichproben mit jeweils 30 Werten erhoben werden: die letzten 30 Anzeigen mit unteren Preisschwellen von 15.000, 50.000 und 150.000 Euro. Die kumulierten Häufigkeiten werden in einem gemeinsamen Diagramm dargestellt. So lässt sich die Preisverteilung über mehrere Größenordnungen hinweg untersuchen, von 15.000 Euro bis über eine halbe Million Euro, obwohl jede einzelne Stichprobe nur 30 Werte umfasst.