Zufallsstichprobe

Grundidee und Voraussetzungen

Eine Zufallsstichprobe, auch Wahrscheinlichkeitsauswahl, Zufallsauswahl oder Random-Sample, ist eine aus einer Grundgesamtheit gezogene Stichprobe. Sie entsteht durch ein Auswahlverfahren, bei dem jedes Element der Grundgesamtheit eine angebbare Wahrscheinlichkeit größer null hat, in die Stichprobe zu gelangen. Sie ist wichtig, weil Methoden der induktiven Statistik – also Schlussfolgerungen von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit – streng genommen nur bei Zufallsstichproben anwendbar sind. Auch Monte-Carlo-Methoden beruhen zentral auf Zufallsstichproben; mit Resampling können zufällige Wiederholungen von Stichproben erzeugt werden.

Eine Stichprobe ist das Ergebnis einer Stichprobenziehung, also der Entnahme einer oder mehrerer Einheiten aus einer Grundgesamtheit. Werden mehrere Einheiten gleichzeitig aus einer endlichen Grundgesamtheit entnommen, ist die Stichprobe eine Teilmenge. Bei wiederholtem Ziehen mit Zurücklegen kann dieselbe Einheit mehrfach vorkommen; das Ergebnis wird dann als Vektor dargestellt, dessen Komponenten die Ergebnisse der einzelnen Ziehungen angeben.

Für eine Zufallsstichprobe müssen die Elemente zufällig gezogen werden und ihre Auswahlwahrscheinlichkeit muss angebbar sein. Bei einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe hat jedes Element dieselbe Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen. Bei einer einfachen Zufallsstichprobe gilt dies ebenfalls, außerdem erfolgen die Ziehungen unabhängig voneinander. Ziehen ohne Zurücklegen liefert beispielsweise eine uneingeschränkte, Ziehen mit Zurücklegen eine einfache Zufallsstichprobe.

Mathematische Beschreibung und Abhängigkeit

In der mathematischen Statistik werden die beobachteten Werte x₁, …, xₙ als Realisierungen von Zufallsvariablen X₁, …, Xₙ aufgefasst. Diese Stichprobenvariablen beschreiben, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei der i-ten Ziehung ein bestimmtes Element der Grundgesamtheit ausgewählt wird. Sie bilden die Grundlage, um aus den Daten auf Eigenschaften der Grundgesamtheit zu schließen.

Bei einer einfachen Zufallsstichprobe sind die Stichprobenvariablen stochastisch unabhängig und identisch verteilt, kurz i.i.d. (independent and identically distributed). Identisch verteilt bedeutet: Verteilungstyp und Verteilungsparameter aller Xᵢ entsprechen der Verteilung in der Grundgesamtheit. Unabhängig bedeutet: Das Ergebnis einer Ziehung beeinflusst die anderen Ziehungen nicht. Viele Verfahren der induktiven Statistik setzen i.i.d.-Stichprobenvariablen voraus. Andernfalls bilden die Werte einen Zufallsvektor (X₁, …, Xₙ), dessen mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung vom Stichprobendesign abhängt.

Sind die Werte vergleichbar, können sie geordnet werden. Meist wird nichtfallend sortiert: x[1] ≤ x[2] ≤ … ≤ x[n]. Aus der Stichprobe (1, 3, 2, 4, 2) wird so die geordnete Stichprobe (1, 2, 2, 3, 4). Die geordneten Zufallsvariablen X[1], …, X[n] heißen Ordnungsstatistiken oder Ranggrößen; die geordnete Stichprobe heißt auch Positionsstichprobe oder Variationsreihe. Sie spielt in der nichtparametrischen Statistik eine zentrale Rolle und ist dort eine suffiziente und vollständige Statistik.

Bei mehreren Stichproben unterscheidet man abhängige und unabhängige Stichproben. Abhängige, auch verbundene oder gepaarte Stichproben, entstehen häufig bei wiederholten Messungen an denselben Untersuchungsobjekten, etwa bei Personen vor und nach einer Medikamentenbehandlung. Unabhängige Stichproben haben keinen Zusammenhang zwischen ihren Elementen, etwa Stichproben von Frauen und Männern oder zufällig auf Gruppen verteilte Personen. Formal sind bei unabhängigen Stichproben alle Xᵢⱼ unabhängig. Bei abhängigen Stichproben sind die Werte verschiedener Personen innerhalb einer Messreihe unabhängig, die Messwerte Xᵢ₁, …, Xᵢₚ derselben Person jedoch abhängig.

Stichprobenumfang und Genauigkeit

Der Stichprobenumfang, auch Stichprobenlänge oder Stichprobengröße, ist die Zahl der Einheiten in einer Stichprobe. Der effektive Stichprobenumfang ist die Zahl verschiedener Einheiten der Grundgesamtheit, die darin vorkommen. Bei einfachen Zufallsstichproben werden statistische Kenngrößen in der Regel mit wachsendem Stichprobenumfang besser. Dadurch kann n anhand vorgegebener Genauigkeitsanforderungen geplant werden. Bei nicht unabhängigen Ziehungen, zum Beispiel Zeitreihen oder stochastischen Prozessen, kann eine Vergrößerung des Umfangs jedoch statistische Kenngrößen wie die Varianz verschlechtern. Umfangsvorgaben beruhen außerdem oft auf Normen oder Erfahrungswerten.

Der notwendige Stichprobenumfang ist die Anzahl von Werten, die benötigt wird, um einen unbekannten Parameter θ mit festgelegter Genauigkeit zu schätzen. Dazu wird aus X₁, …, Xₙ eine Schätzfunktion Tₙ = T(X₁, …, Xₙ) gebildet; meist gilt E(Tₙ) = θ. Für einen tolerierten absoluten Fehler e und die vorgegebene Wahrscheinlichkeit 1 − α soll gelten: P(θ − e ≤ Tₙ ≤ θ + e) = 1 − α, gleichbedeutend mit P(|Tₙ − θ| ≤ e) = 1 − α.

Häufig ist e = c₁₋α⁄₂ σTₙ. Dabei ist c₁₋α⁄₂ ein Quantil der Verteilung von Tₙ und σTₙ = √Var(Tₙ) ihre Standardabweichung, die oft proportional zu 1/√n ist. Für einen unbekannten Mittelwert μ bei Xᵢ ~ N(μ; σ) und bekannter Standardabweichung σ gilt n ≥ z²₁₋α⁄₂σ²/e². Ist σ unbekannt, gilt n ≥ t²ₙ₋₁;₁₋α⁄₂s²/e²; bei n > 30 kann n ≥ z²₁₋α⁄₂s²/e² verwendet werden. Für einen Anteilswert π bei Xᵢ ~ Ber(π) und nπ(1 − π) ≥ 9 gilt als Abschätzung n ≥ z²₁₋α⁄₂/(4e²). N(μ; σ) bezeichnet die Normalverteilung, Ber(π) die Bernoulli-Verteilung. zₚ ist ein Quantil der Standardnormalverteilung, tₙ₋₁;ₚ ein Quantil der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden. Bei unbekanntem s² muss es vorab etwa durch eine Vorstichprobe geschätzt werden.

Bei einer Wahlumfrage mit einem beobachteten Parteianteil von 6 %, 95 % Sicherheit und e = 1 % ergibt die konservative Rechnung n ≥ 1,96²/(4 · 0,01²) = 9604. Mit dem geschätzten Anteil genauer gerechnet gilt n ≥ 1,96² · 0,06 · 0,94/0,01² ≈ 2167. Demnach müssten immer noch 2167 Wähler befragt werden, um das Wahlergebnis mit einer Genauigkeit von 1 % zu erhalten.

Einstufige und mehrstufige Auswahlverfahren

Einstufige einfache oder uneingeschränkte Zufallsstichproben lassen sich mit einem Urnenmodell veranschaulichen: Kugeln werden zufällig aus einem Gefäß gezogen. Ziehen mit Zurücklegen entspricht einer einfachen, Ziehen ohne Zurücklegen einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe. So können etwa Lottoziehungen simuliert werden.

Bei einer geschichteten Zufallsstichprobe werden die Elemente anhand eines Merkmals in möglichst homogene Gruppen, die Schichten, eingeordnet. Aus jeder Gruppe wird anschließend eine Zufallsstichprobe gezogen; dies kann als reine oder gewichtete Zufallsauswahl erfolgen.

Bei einer Klumpenstichprobe werden dagegen möglichst heterogene Gruppen gebildet, die sich als ganze Gruppen ähneln sollen, etwa Schulklassen einer Schule. Zunächst werden zufällig einige Gruppen ausgewählt, anschließend werden alle Elemente dieser Gruppen untersucht. Ein Beispiel ist die Auswahl von Schulklassen und die Befragung aller Schülerinnen und Schüler in ihnen. Der Klumpeneffekt ist umso größer, je homogener die Elemente innerhalb der Gruppen und je heterogener die Gruppen untereinander sind.

Eine gestufte Zufallsstichprobe dient häufig der Kosten- und Zeitersparnis oder wird eingesetzt, wenn keine vollständige Liste der Grundgesamtheit vorhanden ist. Zuerst werden Stufungskriterien bestimmt und die Grundgesamtheit in einander ausschließende Teilgesamtheiten, die Primäreinheiten, aufgeteilt. Danach wird eine zufällige Auswahl von Teilgesamtheiten getroffen; nur diese werden weiter untersucht. Aus den ausgewählten Primäreinheiten wird dann die Zufallsstichprobe der Merkmalsträger gebildet und die Teilstichproben werden zu einer Gesamtstichprobe zusammengefügt. Genannt werden außerdem das Random-Route-Verfahren und das ADM-Design als Kombination von Schichtung und Stufung.

In der Werkstoffprüfung sind 10 Proben pro 1000 produzierte Teile durchaus üblich; der Umfang hängt unter anderem von der Sicherheitsrelevanz des Bauteils oder Werkstoffs ab. Bei zerstörenden Prüfungen wie dem Zugversuch wird die Stichprobe möglichst klein gehalten. Bei zerstörungsfreier Prüfung, beispielsweise mit Bildverarbeitungssystemen zur Vollständigkeitsprüfung, erfolgt häufig eine 100-%-Kontrolle.

Beispiele und praktische Grenzen

Das Literary-Digest-Desaster von 1936 zeigt die Gefahr einer nicht zufällig gezogenen Stichprobe: Eine verzerrte Stichprobe führte zu einer vollständig falschen Wahlprognose. Eine Befragung von Wählern nach dem Verlassen der Wahlkabine ist bezüglich der Wähler eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe, sofern niemand die Antwort verweigert und Briefwahl ausgeschlossen ist. Bezüglich aller Wahlberechtigten ist sie jedoch keine uneingeschränkte Zufallsstichprobe.

Auch die Taschenkontrolle in einem Supermarkt kann als einfache Zufallsauswahl organisiert sein: Beim Personalausgang zeigt eine computergesteuerte Lampe grün für keine Kontrolle oder rot für eine Kontrolle. Damit lassen sich Kontrollen auswählen, ohne alle Angestellten kontrollieren zu müssen.

In der praktischen Forschung, besonders in den Sozialwissenschaften, ist eine „echte“ Zufallsstichprobe selten. Die Grundgesamtheit muss eindeutig zeitlich, räumlich und nach dem untersuchten Merkmal abgegrenzt sein. Das ist oft nicht möglich, weil sie unbekannt ist, etwa bei allen Personen mit einer momentanen Depression in Deutschland, oder weil sie sich durch Geburten und Todesfälle verändert. Datenschutz und ethische Bedenken können außerdem den Zugriff auf vollständige Listen einer Population verhindern. Schließlich nehmen nicht alle zufällig ausgewählten Personen an Untersuchungen teil; Teilnehmende und Nichtteilnehmende können sich beispielsweise hinsichtlich sozialem Status oder Bildungsniveau unterscheiden.

Deshalb werden oft Ad-hoc-Stichproben verwendet, also Personen befragt, die freiwillig teilnehmen. Dann muss geprüft werden, ob die tatsächlich erhobene Grundgesamtheit, die frame population, mit der angestrebten Grundgesamtheit, der target population, übereinstimmt. Nur für diese Zielgrundgesamtheit sollen die Aussagen der Untersuchung gelten.