Lösen von Gleichungen

Grundidee des Lösens von Gleichungen

Eine Gleichung wird gelöst, indem alle Werte der Unbekannten bestimmt werden, für die ihre beiden Seiten denselben Wert haben. Das kann analytisch durch Umformungen, grafisch oder numerisch geschehen. Der Artikel behandelt vor allem Polynomgleichungen, Bruchgleichungen und Wurzelgleichungen. Gleichungssysteme und Differentialgleichungen werden nicht behandelt.

Beim analytischen Lösen wird die Gleichung schrittweise vereinfacht. Ziel ist, die Unbekannte allein auf einer Seite stehen zu haben oder eine Standardform zu erhalten, für die eine Lösungsformel oder ein numerisches Verfahren verwendet werden kann. Eine Gleichung kann häufig so umgeformt werden, dass auf einer Seite 0 steht. Dann entspricht das Lösen der Gleichung dem Bestimmen von Nullstellen.

Äquivalenzumformungen und ihre Grenzen

Äquivalenzumformungen verändern den Wahrheitswert und damit die Lösungsmenge einer Gleichung nicht. Sie entsprechen dem Gedanken einer Waage: Was auf der einen Seite geschieht, muss in gleicher Weise auf der anderen Seite geschehen.

Erlaubt sind insbesondere:

• Addition oder Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten;
• Multiplikation mit demselben Ausdruck, sofern dieser nicht 0 ist;
• Division durch denselben Ausdruck, sofern dieser nicht 0 ist;
• Termumformungen auf einer oder beiden Seiten;
• Vertauschen der beiden Seiten.

Bei einem Ausdruck mit einer Variablen muss geprüft werden, ob er 0 sein kann. Eine Multiplikation mit 0 ist nicht umkehrbar; eine Division durch 0 ist nicht erlaubt.

Einige Umformungen sind nur eingeschränkt zulässig. Das Potenzieren mit demselben positiven ganzzahligen Exponenten ist nur bei ungeradem Exponenten stets eine Äquivalenzumformung. Beim Quadrieren können Scheinlösungen entstehen. Aus x = −1 folgt zwar x² = (−1)², aber x² = 1 hat zusätzlich x = 1 als Lösung.

Beim Potenzieren mit einem nicht ganzzahligen Exponenten, etwa beim Wurzelziehen, müssen die Seiten im reellen Zahlenbereich nicht negativ sein. Außerdem gilt √(x²) = |x|, nicht für alle reellen x einfach √(x²) = x. Beim Potenzieren mit einem negativen Exponenten müssen beide Seiten ungleich 0 sein.

Irreversible Umformungen lassen keinen eindeutigen Rückschluss auf die Ausgangsgleichung zu. Multipliziert man etwa 5x + 3 = 8 mit 0, entsteht 0 = 0; daraus lässt sich die ursprüngliche Gleichung nicht mehr erkennen. Auch aus 4x = 8 wird durch Quadrieren 16x² = 64, wobei neben x = 2 zusätzlich x = −2 auftritt. Dagegen ist (x − 3)² = 16 äquivalent zu |x − 3| = 4; daraus folgen x = 7 und x = −1.

Polynomgleichungen nach dem Grad

Eine Polynomgleichung enthält ein Polynom der Unbekannten. Ihr Grad ist die höchste vorkommende Potenz.

Lineare Gleichungen haben die Normalform ax + b = 0 mit a ≠ 0 und genau eine Lösung:

x = −b/a.

Nicht jede Gleichung mit einer Unbekannten ist lösbar. Die Gleichung x = x + 1 führt durch Subtraktion von x zu 0 = 1 und besitzt daher keine Lösung. Verhältnisgleichungen wie 1/x = 2/5 können durch Kehrwertbildung in lineare Gleichungen überführt werden, sofern dabei keine Division durch 0 auftritt.

Quadratische Gleichungen haben die Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Mit der abc-Formel lautet die Lösung

x₁/₂ = (−b ± √D)/(2a),  D = b² − 4ac.

D heißt Diskriminante. In der normierten Form x² + px + q = 0 mit p = b/a und q = c/a verwendet man die pq-Formel:

x₁/₂ = −p/2 ± √D,  D = p²/4 − q.

Für reelle Zahlen gibt es bei D > 0 zwei Lösungen, bei D = 0 eine doppelte Lösung und bei D < 0 keine reelle Lösung. Im Bereich der komplexen Zahlen gibt es stets zwei Lösungen, die auch zusammenfallen können. Bei reellen Koeffizienten sind die nicht reellen Lösungen konjugiert komplex.

Kubische Gleichungen haben die Form ax³ + bx² + cx + d = 0 mit a ≠ 0. Sie besitzen drei Lösungen, von denen mindestens eine reell ist; die beiden anderen sind entweder beide reell oder beide komplex. Für sie gibt es die cardanische Lösungsformel.

Quartische Gleichungen haben die Form ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 mit a ≠ 0. Sie besitzen vier Lösungen. Bei reellen Koeffizienten treten diese paarweise reell oder konjugiert komplex auf. Für Gleichungen vierten Grades gibt es noch eine allgemeine Lösungsformel. Sie kann Rundungsfehlerprobleme verursachen, hat aber konstante Rechenzeiten. Iterative Verfahren können bei mehrfachen oder dicht beieinanderliegenden Nullstellen problematisch sein.

Für Gleichungen höheren als vierten Grades gibt es keine allgemeine Lösungsformel, die nur die vier Grundrechenarten und das Wurzelziehen verwendet. Spezielle Fälle sind dennoch lösbar, etwa Polynome mit symmetrischen Koeffizienten oder Polynome, in denen nur gerade oder nur ungerade Potenzen vorkommen. Allgemein gilt: Ein Polynom vom Grad n hat n Lösungen, wobei jede Lösung entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt wird.

Bei reellen Koeffizienten gibt es bei geradem Grad eine gerade Anzahl reeller Lösungen, bei ungeradem Grad eine ungerade Anzahl. Nicht reelle Lösungen treten paarweise als konjugiert komplexe Zahlen auf. Deshalb besitzt jede Gleichung ungeraden Grades mindestens eine reelle Lösung; eine Gleichung geraden Grades kann dagegen ohne reelle Lösung sein, etwa x² = −1 mit den komplexen Lösungen +i und −i. Für allgemeine Gleichungen höheren Grades wird häufig numerisch gerechnet. Das Bairstow-Verfahren bestimmt auch komplexe Nullstellen, indem wiederholt quadratische Faktoren abgespalten werden.

Bruch- und Wurzelgleichungen

Eine Bruchgleichung enthält mindestens einen Bruchterm, in dessen Nenner die Unbekannte vorkommt. Sie wird meist durch Multiplikation mit dem Hauptnenner auf eine einfachere Gleichung zurückgeführt. Danach muss geprüft werden, ob die gefundene Lösung im Definitionsbereich liegt; insbesondere darf kein Nenner 0 werden.

Beispiel:

2/(3x) = 6  | · 3x 2 = 18x  | · 1/18 x = 1/9.

Eine Wurzelgleichung enthält die Unbekannte unter einer Wurzel. Zuerst wird eine Wurzel isoliert. Danach potenziert man beide Seiten mit dem Wurzelexponenten und wiederholt dies, bis alle Wurzeln beseitigt sind. Da Potenzieren Scheinlösungen erzeugen kann, ist anschließend eine Probe in der ursprünglichen Gleichung unverzichtbar.

Beispiel:

√(4x) = 16 2√x = 16 √x = 8 x = 64.

Beim Ziehen einer Wurzel muss außerdem der zulässige reelle Definitionsbereich beachtet werden.

Numerische und grafische Verfahren

Viele Gleichungen sind wegen ihrer Komplexität nicht algebraisch lösbar. Dann verwendet man Näherungsverfahren der Numerik. Dazu kann die Gleichung zunächst in eine Form gebracht werden, bei der auf einer Seite 0 steht; anschließend wird eine Nullstelle näherungsweise bestimmt.

Ein einfaches Verfahren für reelle Gleichungen ist die Intervallschachtelung. Die Regula falsi ist ein Spezialfall davon. Häufig wird auch das newtonsche Näherungsverfahren verwendet. Es konvergiert meist nur, wenn die Funktion in einem Bereich um die Nullstelle konvex ist, kann dann aber recht schnell konvergieren; dies wird durch den Satz von Kantorowitsch abgesichert.

Grafische Verfahren liefern im Rahmen der Zeichengenauigkeit von 0,2 mm Anhaltspunkte für Anzahl und Lage der Lösungen. In der Normalform wird die linke Seite als Funktion aufgefasst. Ihre Schnittpunkte mit der x-Achse, also die Nullstellen, sind die Lösungen. Stehen linke und rechte Seite getrennt da, zeichnet man beide Graphen; die x-Werte ihrer Schnittpunkte lösen die Gleichung.

Bei der Gleichung x² = 0,5x + 0,5 kann man die linke Seite als Einheitsparabel und die rechte Seite als Gerade zeichnen. Die Schnittpunkte liefern die Lösungen −0,5 und +1. Eine grafische Darstellung ist wegen der begrenzten Zeichengenauigkeit vor allem eine Orientierung und ersetzt bei erforderlicher Genauigkeit die rechnerische Kontrolle nicht.

Kontrolle der gefundenen Lösungen

Mit einer Punktprobe wird eine gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt. Stimmen beide Seiten überein, ist die Lösung bestätigt. Die Punktprobe zeigt jedoch nicht, ob zusätzlich noch weitere Lösungen existieren. Besonders bei Bruch- und Wurzelgleichungen ist sie wichtig, weil dort die Definitionsbedingungen beachtet werden müssen und durch nicht reversible Umformungen Scheinlösungen entstehen können.