Koeffizientenvergleich

Grundidee des Koeffizientenvergleichs

Der Koeffizientenvergleich ist ein Verfahren der linearen Algebra. Dabei vergleicht man die Koeffizienten zweier Linearkombinationen derselben linear unabhängigen Teilmenge eines Vektorraums. Linear unabhängig bedeutet hier: Kein Element dieser Teilmenge lässt sich als Linearkombination der anderen darstellen.

Die entscheidende Regel lautet: Zwei Linearkombinationen derselben linear unabhängigen Teilmenge sind genau dann gleich, wenn alle entsprechenden Koeffizienten gleich sind. Häufig nutzt man dies im Polynomraum mit Monomen wie 1, x, x^2, \dots als linear unabhängigen Elementen, beispielsweise bei der Partialbruchzerlegung.

Polynome vergleichen

Für die Polynome

P(x)=a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+\dotsb+a_{n}\cdot x^{n}

und

Q(x)=b_{0}+b_{1}\cdot x+b_{2}\cdot x^{2}+\dotsb+b_{n}\cdot x^{n}

gilt genau dann P(x)=Q(x), wenn

a_{0}=b_{0}, a_{1}=b_{1}, \dotsc, a_{n}=b_{n}.

Man ordnet also zuerst beide Polynome nach gleichen Potenzen von x. Anschließend setzt man die Koeffizienten jeder gleichen Potenz gleich.

Beispiel mit Polynomen

Gegeben sind P(x)=a\cdot x+2a+b und Q(x)=2x+1. Damit die Polynome gleich sind, muss gelten:

• Für den Koeffizienten von x^1: a=2.
• Für den konstanten Term, also den Koeffizienten von x^0: 2a+b=1.

Mit a=2 folgt b=-3. Somit sind die Polynome für a=2 und b=-3 gleich.

Trigonometrische Polynome

Der Koeffizientenvergleich kann auch bei trigonometrischen Polynomen verwendet werden. In

(-a-8b)\cdot\sin(2x)+(-b+8a)\cdot\cos(2x)=130\cdot\sin(2x)

werden die Koeffizienten von \sin(2x) und \cos(2x) verglichen. Da auf der rechten Seite kein \cos(2x)-Term vorkommt, ist dessen Koeffizient 0. Es gilt daher:

• -a-8b=130,
• -b+8a=0.

Die Lösung ist a=-2 und b=-16.